x=113では、x-2=111(3x37),x-4=109,x-6=107,x-8=105(3x5x7),x-10=103,x-12=101,x-14=99(3x33),x-16=97 ,x-18=95(5x19),x-20=93(3x31),x-22=91(7x13),x-24=89,x-26=87(3x29),x-28=85(5x17),x-30=83 ,x-32=81(3^4),x-34=79,x-36=77(11x7),x-38=75(5^2x3),x-40=73,x-42=71,x-44=69(3x23),x-46=67 ,x-48=65(5x13),x-50=63(3x21),x-52=61,x-54=59,x-56=57(3x19),x-58=55(5x11),x-60=53,x-62=51(3x17) ,x-64=49(7x7),x-66=47,x-68=45(5x9),x-70=43,x-72=41,x-74=39(3x13),x-76=37,x-78=62(5x7),x-80=33(3x11) ,x-82=31,x-84=29,x-86=27(3x9),x-88=25(5x5),x-90=23,x-92=21(3x7),x-94=19,x-96=17,x-98=15(3x5) ,x-100=13,x-102=11,x-104=9(3x3),x-106=7,x-108=5,x-110=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=111(=3x37)とすると、111は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=109とすると、σ(x)の素因数分解に109が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、 {4^(n+1)-1}/(4-1)=109Pとおける。 4^m-1=3x109P=327P nは偶数なのでmは奇数。 (%i3) mod(4^3-1,327); (%o3) 63 (%i4) mod(4^5-1,327); (%o4) 42 (%i5) mod(4^7-1,327); (%o5) 33 (%i6) mod(4^9-1,327); (%o6) 216 (%i7) mod(4^11-1,327); (%o7) 201 (%i8) mod(4^13-1,327); (%o8) 288 (%i9) mod(4^15-1,327); (%o9) 45 (%i10) mod(4^17-1,327); (%o10) 81 (%i11) mod(4^19-1,327); (%o11) 3 (%i12) mod(4^21-1,327); (%o12) 63 (%i13) mod(4^23-1,327); (%o13) 42 より、0にならない。 よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=109はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると109を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=107とすると、σ(x)の素因数分解に107が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、 {6^(n+1)-1}/(6-1)=107Pとおける。 6^m-1=5x107P=535P nは偶数なのでmは奇数。 (%i72) mod(6^3-1,535); (%o72) 215 (%i73) mod(6^5-1,535); (%o73) 285 (%i74) mod(6^7-1,535); (%o74) 130 (%i75) mod(6^9-1,535); (%o75) 435 (%i76) mod(6^11-1,535); (%o76) 180 (%i77) mod(6^13-1,535); (%o77) 95 (%i78) mod(6^15-1,535); (%o78) 245 (%i79) mod(6^17-1,535); (%o79) 295 (%i80) mod(6^19-1,535); (%o80) 490 (%i81) mod(6^21-1,535); (%o81) 20 (%i82) mod(6^23-1,535); (%o82) 220 (%i83) mod(6^25-1,535); (%o83) 465 (%i84) mod(6^27-1,535); (%o84) 190 (%i85) mod(6^29-1,535); (%o85) 455 (%i86) mod(6^31-1,535); (%o86) 365 (%i87) mod(6^33-1,535); (%o87) 335 (%i88) mod(6^35-1,535); (%o88) 325 (%i89) mod(6^37-1,535); (%o89) 500 (%i90) mod(6^39-1,535); (%o90) 380 (%i91) mod(6^41-1,535); (%o91) 340 (%i92) mod(6^43-1,535); (%o92) 505 (%i93) mod(6^45-1,535); (%o93) 25 (%i94) mod(6^47-1,535); (%o94) 400 (%i95) mod(6^49-1,535); (%o95) 525 (%i96) mod(6^51-1,535); (%o96) 210 (%i97) mod(6^53-1,535); (%o97) 105 (%i98) mod(6^55-1,535); (%o98) 70 (%i99) mod(6^57-1,535); (%o99) 415 (%i100) mod(6^59-1,535); (%o100) 530 (%i101) mod(6^61-1,535); (%o101) 390 (%i102) mod(6^63-1,535); (%o102) 165 (%i103) mod(6^65-1,535); (%o103) 90 (%i104) mod(6^67-1,535); (%o104) 65 (%i105) mod(6^69-1,535); (%o105) 235 (%i106) mod(6^71-1,535); (%o106) 470 (%i107) mod(6^73-1,535); (%o107) 370 (%i108) mod(6^75-1,535); (%o108) 515 (%i109) mod(6^77-1,535); (%o109) 385 (%i110) mod(6^79-1,535); (%o110) 520 (%i111) mod(6^81-1,535); (%o111) 30 (%i112) mod(6^83-1,535); (%o112) 45 (%i113) mod(6^85-1,535); (%o113) 50 (%i114) mod(6^87-1,535); (%o114) 230 (%i115) mod(6^89-1,535); (%o115) 290 (%i116) mod(6^91-1,535); (%o116) 310 (%i117) mod(6^93-1,535); (%o117) 495 (%i118) mod(6^95-1,535); (%o118) 200 (%i119) mod(6^97-1,535); (%o119) 280 (%i120) mod(6^99-1,535); (%o120) 485 (%i121) mod(6^101-1,535); (%o121) 375 (%i122) mod(6^103-1,535); (%o122) 160 (%i123) mod(6^105-1,535); (%o123) 445 (%i124) mod(6^107-1,535); (%o124) 5 (%i125) mod(6^109-1,535); (%o125) 215 (%i126) mod(6^111-1,535); (%o126) 285 より、0にならない。 よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=107はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると107を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=105(=3x5x7)とすると、105は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=103とすると、σ(x)の素因数分解に103が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、 {10^(n+1)-1}/(10-1)=103Pとおける。 10^m-1=9x103P=927P nは偶数なのでmは奇数。 (%i128) mod(10^3-1,927); (%o128) 72 (%i129) mod(10^5-1,927); (%o129) 810 (%i130) mod(10^7-1,927); (%o130) 450 (%i131) mod(10^9-1,927); (%o131) 603 (%i132) mod(10^11-1,927); (%o132) 144 (%i133) mod(10^13-1,927); (%o133) 594 (%i134) mod(10^15-1,927); (%o134) 171 (%i135) mod(10^17-1,927); (%o135) 513 (%i136) mod(10^19-1,927); (%o136) 414 (%i137) mod(10^21-1,927); (%o137) 711 (%i138) mod(10^23-1,927); (%o138) 747 (%i139) mod(10^25-1,927); (%o139) 639 (%i140) mod(10^27-1,927); (%o140) 36 (%i141) mod(10^29-1,927); (%o141) 918 (%i142) mod(10^31-1,927); (%o142) 126 (%i143) mod(10^33-1,927); (%o143) 648 (%i144) mod(10^35-1,927); (%o144) 9 (%i145) mod(10^37-1,927); (%o145) 72 (%i146) mod(10^39-1,927); (%o146) 810 より、0にならない。 よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=103はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると103を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=101とすると、σ(x)の素因数分解に101が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、 {12^(n+1)-1}/(12-1)=101Pとおける。 12^m-1=11x101P=1111P nは偶数なのでmは奇数。 (%i149) mod(12^3-1,1111); (%o149) 616 (%i150) mod(12^5-1,1111); (%o150) 1078 (%i151) mod(12^7-1,1111); (%o151) 946 (%i152) mod(12^9-1,1111); (%o152) 825 (%i153) mod(12^11-1,1111); (%o153) 66 (%i154) mod(12^13-1,1111); (%o154) 759 (%i155) mod(12^17-1,1111); (%o155) 935 (%i156) mod(12^19-1,1111); (%o156) 352 (%i157) mod(12^21-1,1111); (%o157) 836 (%i158) mod(12^23-1,1111); (%o158) 539 (%i159) mod(12^25-1,1111); (%o159) 1100 (%i160) mod(12^27-1,1111); (%o160) 781 (%i161) mod(12^29-1,1111); (%o161) 396 (%i162) mod(12^31-1,1111); (%o162) 506 (%i163) mod(12^33-1,1111); (%o163) 792 (%i164) mod(12^35-1,1111); (%o164) 869 (%i165) mod(12^37-1,1111); (%o165) 847 (%i166) mod(12^39-1,1111); (%o166) 1012 (%i167) mod(12^41-1,1111); (%o167) 330 (%i168) mod(12^43-1,1111); (%o168) 1001 (%i169) mod(12^45-1,1111); (%o169) 968 (%i170) mod(12^47-1,1111); (%o170) 660 (%i171) mod(12^49-1,1111); (%o171) 748 (%i172) mod(12^51-1,1111); (%o172) 88 (%i173) mod(12^53-1,1111); (%o173) 594 (%i174) mod(12^55-1,1111); (%o174) 132 (%i175) mod(12^57-1,1111); (%o175) 264 (%i176) mod(12^59-1,1111); (%o176) 385 (%i177) mod(12^61-1,1111); (%o177) 33 (%i178) mod(12^63-1,1111); (%o178) 451 (%i179) mod(12^65-1,1111); (%o179) 649 (%i180) mod(12^67-1,1111); (%o180) 275 (%i181) mod(12^69-1,1111); (%o181) 858 (%i182) mod(12^71-1,1111); (%o182) 374 (%i183) mod(12^73-1,1111); (%o183) 671 (%i184) mod(12^75-1,1111); (%o184) 110 (%i185) mod(12^77-1,1111); (%o185) 429 (%i186) mod(12^79-1,1111); (%o186) 814 (%i187) mod(12^81-1,1111); (%o187) 704 (%i188) mod(12^83-1,1111); (%o188) 418 (%i189) mod(12^85-1,1111); (%o189) 341 (%i190) mod(12^87-1,1111); (%o190) 363 (%i191) mod(12^89-1,1111); (%o191) 198 (%i192) mod(12^91-1,1111); (%o192) 880 (%i193) mod(12^93-1,1111); (%o193) 209 (%i194) mod(12^95-1,1111); (%o194) 242 (%i195) mod(12^97-1,1111); (%o195) 550 (%i196) mod(12^99-1,1111); (%o196) 462 (%i197) mod(12^101-1,1111); (%o197) 11 (%i198) mod(12^103-1,1111); (%o198) 616 (%i199) mod(12^105-1,1111); (%o199) 1078 より、0にならない。 よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=101はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると101を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=99(=3x33)とすると、99は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=97とすると、σ(x)の素因数分解に97が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、 {16^(n+1)-1}/(16-1)=97Pとおける。 16^m-1=15x97P=1455P nは偶数なのでmは奇数。 (%i201) mod(16^3-1,1455); (%o201) 1185 (%i202) mod(16^5-1,1455); (%o202) 975 (%i203) mod(16^7-1,1455); (%o203) 1050 (%i204) mod(16^9-1,1455); (%o204) 1335 (%i205) mod(16^11-1,1455); (%o205) 90 (%i206) mod(16^13-1,1455); (%o206) 15 (%i207) mod(16^15-1,1455); (%o207) 1185 (%i208) mod(16^17-1,1455); (%o208) 975 より、0にならない。 よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=97はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると97を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=95(=5x19)とすると、95は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=93(=3x31)とすると、93は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=91(=7x13)とすると、91は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=89とすると、σ(x)の素因数分解に89が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/(24-1)=89Pとおける。 24^m-1=23x89P=2047P nは偶数なのでmは奇数。 (%i210) mod(24^3-1,2047); (%o210) 1541 (%i211) mod(24^5-1,2047); (%o211) 1840 (%i212) mod(24^7-1,2047); (%o212) 69 (%i213) mod(24^9-1,2047); (%o213) 1426 (%i214) mod(24^11-1,2047); (%o214) 1104 (%i215) mod(24^13-1,2047); (%o215) 1909 (%i216) mod(24^15-1,2047); (%o216) 920 (%i217) mod(24^17-1,2047); (%o217) 322 (%i218) mod(24^19-1,2047); (%o218) 1817 (%i219) mod(24^21-1,2047); (%o219) 1150 (%i220) mod(24^23-1,2047); (%o220) 1794 (%i221) mod(24^25-1,2047); (%o221) 184 (%i222) mod(24^27-1,2047); (%o222) 115 (%i223) mod(24^29-1,2047); (%o223) 1311 (%i224) mod(24^31-1,2047); (%o224) 368 (%i225) mod(24^33-1,2047); (%o225) 1702 (%i226) mod(24^35-1,2047); (%o226) 414 (%i227) mod(24^37-1,2047); (%o227) 1587 (%i228) mod(24^39-1,2047); (%o228) 1725 (%i229) mod(24^41-1,2047); (%o229) 1380 (%i230) mod(24^43-1,2047); (%o230) 1219 (%i231) mod(24^45-1,2047); (%o231) 598 (%i232) mod(24^47-1,2047); (%o232) 1127 (%i233) mod(24^49-1,2047); (%o233) 828 (%i234) mod(24^51-1,2047); (%o234) 552 (%i235) mod(24^53-1,2047); (%o235) 1242 (%i236) mod(24^55-1,2047); (%o236) 1564 (%i237) mod(24^57-1,2047); (%o237) 759 (%i238) mod(24^59-1,2047); (%o238) 1748 (%i239) mod(24^61-1,2047); (%o239) 299 (%i240) mod(24^63-1,2047); (%o240) 851 (%i241) mod(24^65-1,2047); (%o241) 1518 (%i242) mod(24^67-1,2047); (%o242) 874 (%i243) mod(24^69-1,2047); (%o243) 437 (%i244) mod(24^71-1,2047); (%o244) 506 (%i245) mod(24^73-1,2047); (%o245) 1357 (%i246) mod(24^75-1,2047); (%o246) 253 (%i247) mod(24^77-1,2047); (%o247) 966 (%i248) mod(24^79-1,2047); (%o248) 207 (%i249) mod(24^81-1,2047); (%o249) 1081 (%i250) mod(24^83-1,2047); (%o250) 943 (%i251) mod(24^85-1,2047); (%o251) 1288 (%i252) mod(24^87-1,2047); (%o252) 1449 (%i253) mod(24^89-1,2047); (%o253) 23 (%i254) mod(24^91-1,2047); (%o254) 1541 (%i255) mod(24^93-1,2047); (%o255) 1840 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=89はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると89を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=87(=3x29)とすると、87は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=85(=5x17)とすると、85は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=83とすると、σ(x)の素因数分解に83が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/(30-1)=83Pとおける。 30^m-1=29x83P=2407P nは偶数なのでmは奇数。 (%i271) mod(30^3-1,2407); (%o271) 522 (%i272) mod(30^5-1,2407); (%o272) 1334 (%i273) mod(30^7-1,2407); (%o273) 406 (%i274) mod(30^11-1,2407); (%o274) 58 (%i275) mod(30^13-1,2407); (%o275) 145 (%i276) mod(30^15-1,2407); (%o276) 1421 (%i277) mod(30^17-1,2407); (%o277) 1682 (%i278) mod(30^19-1,2407); (%o278) 696 (%i279) mod(30^21-1,2407); (%o279) 1479 (%i280) mod(30^23-1,2407); (%o280) 928 (%i281) mod(30^25-1,2407); (%o281) 870 (%i282) mod(30^27-1,2407); (%o282) 1624 (%i283) mod(30^29-1,2407); (%o283) 1450 (%i284) mod(30^31-1,2407); (%o284) 1305 (%i285) mod(30^33-1,2407); (%o285) 783 (%i286) mod(30^35-1,2407); (%o286) 348 (%i287) mod(30^37-1,2407); (%o287) 1189 (%i288) mod(30^39-1,2407); (%o288) 2291 (%i289) mod(30^41-1,2407); (%o289) 0 (%i290) mod(30^43-1,2407); (%o290) 899 (%i291) mod(30^45-1,2407); (%o291) 1247 (%i292) mod(30^47-1,2407); (%o292) 1537 (%i293) mod(30^49-1,2407); (%o293) 174 (%i294) mod(30^51-1,2407); (%o294) 1044 (%i295) mod(30^53-1,2407); (%o295) 1769 (%i296) mod(30^55-1,2407); (%o296) 1972 (%i297) mod(30^57-1,2407); (%o297) 1740 (%i298) mod(30^59-1,2407); (%o298) 2349 (%i299) mod(30^61-1,2407); (%o299) 1653 (%i300) mod(30^63-1,2407); (%o300) 1073 (%i301) mod(30^65-1,2407); (%o301) 1392 (%i302) mod(30^67-1,2407); (%o302) 2059 (%i303) mod(30^69-1,2407); (%o303) 609 (%i304) mod(30^71-1,2407); (%o304) 203 (%i305) mod(30^73-1,2407); (%o305) 667 (%i306) mod(30^75-1,2407); (%o306) 1856 (%i307) mod(30^77-1,2407); (%o307) 841 (%i308) mod(30^79-1,2407); (%o308) 2001 (%i309) mod(30^81-1,2407); (%o309) 1363 (%i310) mod(30^83-1,2407); (%o310) 29 (%i311) mod(30^85-1,2407); (%o311) 522 (%i312) mod(30^87-1,2407); (%o312) 1334 より、0になるときがある。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=83はある。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると83を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-28)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、 {34^(n+1)-1}/(34-1)=79Pとおける。 34^m-1=33x79P=2607P nは偶数なのでmは奇数。 (%i3) mod(34^3-1,2607); (%o3) 198 (%i4) mod(34^5-1,2607); (%o4) 627 (%i5) mod(34^7-1,2607); (%o5) 1221 (%i6) mod(34^9-1,2607); (%o6) 2244 (%i7) mod(34^11-1,2607); (%o7) 1254 (%i8) mod(34^13-1,2607); (%o8) 1287 (%i9) mod(34^15-1,2607); (%o9) 330 (%i10) mod(34^17-1,2607); (%o10) 2013 (%i11) mod(34^19-1,2607); (%o11) 132 (%i12) mod(34^21-1,2607); (%o12) 2541 (%i13) mod(34^23-1,2607); (%o13) 462 (%i14) mod(34^25-1,2607); (%o14) 792 (%i15) mod(34^27-1,2607); (%o15) 1650 (%i16) mod(34^29-1,2607); (%o16) 231 (%i17) mod(34^31-1,2607); (%o17) 2277 (%i18) mod(34^33-1,2607); (%o18) 297 (%i19) mod(34^35-1,2607); (%o19) 363 (%i20) mod(34^37-1,2607); (%o20) 1056 (%i21) mod(34^39-1,2607); (%o21) 1815 (%i22) mod(34^41-1,2607); (%o22) 660 (%i23) mod(34^43-1,2607); (%o23) 264 (%i24) mod(34^45-1,2607); (%o24) 1320 (%i25) mod(34^47-1,2607); (%o25) 1980 (%i26) mod(34^49-1,2607); (%o26) 1089 (%i27) mod(34^51-1,2607); (%o27) 858 (%i28) mod(34^53-1,2607); (%o28) 2343 (%i29) mod(34^55-1,2607); (%o29) 990 (%i30) mod(34^57-1,2607); (%o30) 1122 (%i31) mod(34^59-1,2607); (%o31) 2508 (%i32) mod(34^61-1,2607); (%o32) 1419 (%i33) mod(34^63-1,2607); (%o33) 1716 (%i34) mod(34^65-1,2607); (%o34) 924 (%i35) mod(34^67-1,2607); (%o35) 429 (%i36) mod(34^69-1,2607); (%o36) 1749 (%i37) mod(34^71-1,2607); (%o37) 2574 (%i38) mod(34^73-1,2607); (%o38) 2112 (%i39) mod(34^75-1,2607); (%o39) 2475 (%i40) mod(34^77-1,2607); (%o40) 2376 (%i41) mod(34^79-1,2607); (%o41) 33 (%i42) mod(34^81-1,2607); (%o42) 198 (%i43) mod(34^83-1,2607); (%o43) 627 より、0にならない。 よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=79はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると79を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、 {40^(n+1)-1}/(40-1)=73Pとおける。 40^m-1=39x73P=2847P nは偶数なのでmは奇数。 (%i45) mod(40^3-1,2847); (%o45) 1365 (%i46) mod(40^5-1,2847); (%o46) 1950 (%i47) mod(40^7-1,2847); (%o47) 1287 (%i48) mod(40^9-1,2847); (%o48) 2418 (%i49) mod(40^11-1,2847); (%o49) 1326 (%i50) mod(40^13-1,2847); (%o50) 2184 (%i51) mod(40^15-1,2847); (%o51) 2730 (%i52) mod(40^17-1,2847); (%o52) 2301 (%i53) mod(40^19-1,2847); (%o53) 2028 (%i55) mod(40^21-1,2847); (%o55) 819 (%i54) mod(40^23-1,2847); (%o54) 2379 (%i56) mod(40^25-1,2847); (%o56) 1560 (%i57) mod(40^27-1,2847); (%o57) 780 (%i58) mod(40^29-1,2847); (%o58) 2613 (%i59) mod(40^31-1,2847); (%o59) 156 (%i60) mod(40^33-1,2847); (%o60) 663 (%i61) mod(40^35-1,2847); (%o61) 468 (%i62) mod(40^37-1,2847); (%o62) 1638 (%i63) mod(40^39-1,2847); (%o63) 312 (%i64) mod(40^41-1,2847); (%o64) 2574 (%i65) mod(40^43-1,2847); (%o65) 390 (%i66) mod(40^45-1,2847); (%o66) 2106 (%i67) mod(40^47-1,2847); (%o67) 351 (%i68) mod(40^49-1,2847); (%o68) 2340 (%i69) mod(40^51-1,2847); (%o69) 1794 (%i70) mod(40^53-1,2847); (%o70) 2223 (%i71) mod(40^55-1,2847); (%o71) 2496 (%i72) mod(40^57-1,2847); (%o72) 858 (%i73) mod(40^59-1,2847); (%o73) 2145 (%i74) mod(40^61-1,2847); (%o74) 117 (%i75) mod(40^63-1,2847); (%o75) 897 (%i76) mod(40^65-1,2847); (%o76) 1911 (%i77) mod(40^67-1,2847); (%o77) 1521 (%i78) mod(40^69-1,2847); (%o78) 1014 (%i79) mod(40^71-1,2847); (%o79) 1209 (%i80) mod(40^73-1,2847); (%o80) 39 (%i81) mod(40^75-1,2847); (%o81) 1365 (%i82) mod(40^77-1,2847); (%o82) 1950 (%i83) mod(40^79-1,2847); (%o83) 1287 より、0にならない。 よって、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=73はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると73を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/(42-1)=71Pとおける。 42^m-1=41x71P=2911P nは偶数なのでmは奇数。 (%i3) mod(42^3-1,2911); (%o3) 1312 (%i4) mod(42^5-1,2911); (%o4) 1886 (%i5) mod(42^7-1,2911); (%o5) 1394 (%i6) mod(42^9-1,2911); (%o6) 984 (%i7) mod(42^11-1,2911); (%o7) 2583 (%i8) mod(42^13-1,2911); (%o8) 2460 (%i9) mod(42^15-1,2911); (%o9) 902 (%i10) mod(42^17-1,2911); (%o10) 574 (%i11) mod(42^19-1,2911); (%o11) 1271 (%i12) mod(42^21-1,2911); (%o12) 2337 (%i13) mod(42^23-1,2911); (%o13) 2255 (%i14) mod(42^25-1,2911); (%o14) 246 (%i15) mod(42^27-1,2911); (%o15) 1968 (%i16) mod(42^29-1,2911); (%o16) 492 (%i17) mod(42^31-1,2911); (%o17) 2173 (%i18) mod(42^33-1,2911); (%o18) 1148 (%i19) mod(42^35-1,2911); (%o19) 779 (%i20) mod(42^37-1,2911); (%o20) 1927 (%i21) mod(42^39-1,2911); (%o21) 943 (%i22) mod(42^41-1,2911); (%o22) 123 (%i23) mod(42^43-1,2911); (%o23) 410 (%i24) mod(42^45-1,2911); (%o24) 164 (%i25) mod(42^47-1,2911); (%o25) 2870 (%i26) mod(42^49-1,2911); (%o26) 2214 (%i27) mod(42^51-1,2911); (%o27) 697 (%i28) mod(42^53-1,2911); (%o28) 2829 (%i29) mod(42^55-1,2911); (%o29) 2665 (%i30) mod(42^57-1,2911); (%o30) 1558 (%i31) mod(42^59-1,2911); (%o31) 2091 (%i32) mod(42^61-1,2911); (%o32) 2050 (%i33) mod(42^63-1,2911); (%o33) 2501 (%i34) mod(42^65-1,2911); (%o34) 451 (%i35) mod(42^67-1,2911); (%o35) 2624 (%i36) mod(42^69-1,2911); (%o36) 2009 (%i37) mod(42^71-1,2911); (%o37) 41 (%i38) mod(42^73-1,2911); (%o38) 1312 (%i39) mod(42^75-1,2911); (%o39) 1886 より、0にならない。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=71はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると71を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、 {46^(n+1)-1}/(46-1)=67Pとおける。 46^m-1=45x67P=3015P nは偶数なのでmは奇数。 (%i53) mod(46^3-1,3015); (%o53) 855 (%i54) mod(46^5-1,3015); (%o54) 2295 (%i55) mod(46^7-1,3015); (%o55) 1170 (%i56) mod(46^9-1,3015); (%o56) 2520 (%i57) mod(46^11-1,3015); (%o57) 900 (%i58) mod(46^13-1,3015); (%o58) 1035 (%i59) mod(46^15-1,3015); (%o59) 270 (%i60) mod(46^17-1,3015); (%o60) 585 (%i61) mod(46^19-1,3015); (%o61) 810 (%i62) mod(46^21-1,3015); (%o62) 540 (%i63) mod(46^23-1,3015); (%o63) 2070 (%i64) mod(46^25-1,3015); (%o64) 1440 (%i65) mod(46^27-1,3015); (%o65) 990 (%i66) mod(46^29-1,3015); (%o66) 1530 (%i67) mod(46^31-1,3015); (%o67) 1485 (%i68) mod(46^33-1,3015); (%o68) 2745 (%i69) mod(46^35-1,3015); (%o69) 630 (%i70) mod(46^37-1,3015); (%o70) 2565 (%i71) mod(46^39-1,3015); (%o71) 2655 (%i72) mod(46^41-1,3015); (%o72) 135 (%i73) mod(46^43-1,3015); (%o73) 1350 (%i74) mod(46^45-1,3015); (%o74) 495 (%i75) mod(46^47-1,3015); (%o75) 315 (%i76) mod(46^49-1,3015); (%o76) 2340 (%i77) mod(46^51-1,3015); (%o77) 2925 (%i78) mod(46^53-1,3015); (%o78) 1620 (%i79) mod(46^55-1,3015); (%o79) 1980 (%i80) mod(46^57-1,3015); (%o80) 945 (%i81) mod(46^59-1,3015); (%o81) 2790 (%i82) mod(46^61-1,3015); (%o82) 2385 (%i83) mod(46^63-1,3015); (%o83) 1665 (%i84) mod(46^65-1,3015); (%o84) 720 (%i85) mod(46^67-1,3015); (%o85) 45 (%i86) mod(46^69-1,3015); (%o86) 855 (%i87) mod(46^71-1,3015); (%o87) 2295 より、0にならない。 よって、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=67はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると67を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、 {52^(n+1)-1}/(52-1)=61Pとおける。 52^m-1=51x61P=3111P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(52^3-1,3111); (%o2) 612 (%i3) mod(52^5-1,3111); (%o3) 2499 (%i4) mod(52^7-1,3111); (%o4) 2907 (%i5) mod(52^9-1,3111); (%o5) 1734 (%i6) mod(52^11-1,3111); (%o6) 51 (%i7) mod(52^13-1,3111); (%o7) 612 (%i8) mod(52^15-1,3111); (%o8) 2499 より、0にならない。 よって、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=61はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/(54-1)=59Pとおける。 54^m-1=53x59P=3127P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i10) mod(54^3-1,3127); (%o10) 1113 (%i11) mod(54^5-1,3127); (%o11) 2597 (%i12) mod(54^7-1,3127); (%o12) 2173 (%i13) mod(54^9-1,3127); (%o13) 954 (%i14) mod(54^11-1,3127); (%o14) 1749 (%i15) mod(54^13-1,3127); (%o15) 2862 (%i16) mod(54^15-1,3127); (%o16) 2544 (%i17) mod(54^17-1,3127); (%o17) 848 (%i18) mod(54^19-1,3127); (%o18) 2226 (%i19) mod(54^21-1,3127); (%o19) 2279 (%i20) mod(54^23-1,3127); (%o20) 477 (%i21) mod(54^25-1,3127); (%o21) 2332 (%i22) mod(54^27-1,3127); (%o22) 1802 (%i23) mod(54^29-1,3127); (%o23) 1060 (%i24) mod(54^31-1,3127); (%o24) 1272 (%i25) mod(54^33-1,3127); (%o25) 318 (%i26) mod(54^35-1,3127); (%o26) 1484 (%i27) mod(54^37-1,3127); (%o27) 2491 (%i28) mod(54^39-1,3127); (%o28) 2650 (%i29) mod(54^41-1,3127); (%o29) 371 (%i30) mod(54^43-1,3127); (%o30) 2809 (%i31) mod(54^45-1,3127); (%o31) 1219 (%i32) mod(54^47-1,3127); (%o32) 2120 (%i33) mod(54^49-1,3127); (%o33) 2756 (%i34) mod(54^51-1,3127); (%o34) 3021 (%i35) mod(54^53-1,3127); (%o35) 265 (%i36) mod(54^55-1,3127); (%o36) 159 (%i37) mod(54^57-1,3127); (%o37) 636 (%i38) mod(54^59-1,3127); (%o38) 53 (%i39) mod(54^61-1,3127); (%o39) 1113 (%i40) mod(54^63-1,3127); (%o40) 2597 より、0にならない。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=59はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/(60-1)=53Pとおける。 60^m-1=59x53P=3127P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i42) mod(60^3-1,3127); (%o42) 236 (%i43) mod(60^5-1,3127); (%o43) 2655 (%i44) mod(60^7-1,3127); (%o44) 2360 (%i45) mod(60^9-1,3127); (%o45) 413 (%i46) mod(60^11-1,3127); (%o46) 1947 (%i47) mod(60^13-1,3127); (%o47) 2065 (%i48) mod(60^15-1,3127); (%o48) 1593 (%i49) mod(60^17-1,3127); (%o49) 354 (%i50) mod(60^19-1,3127); (%o50) 2183 (%i51) mod(60^21-1,3127); (%o51) 1121 (%i52) mod(60^23-1,3127); (%o52) 2242 (%i53) mod(60^25-1,3127); (%o53) 885 (%i54) mod(60^27-1,3127); (%o54) 59 (%i56) mod(60^29-1,3127); (%o56) 236 (%i57) mod(60^31-1,3127); (%o57) 2655 より、0にならない。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=53はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/(66-1)=47Pとおける。 66^m-1=65x47P=3055P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i128) mod(66^3-1,3055); (%o128) 325 (%i129) mod(66^5-1,3055); (%o129) 2535 (%i130) mod(66^7-1,3055); (%o130) 2990 (%i131) mod(66^9-1,3055); (%o131) 2275 (%i132) mod(66^11-1,3055); (%o132) 780 (%i133) mod(66^13-1,3055); (%o133) 1820 (%i134) mod(66^15-1,3055); (%o134) 1495 (%i135) mod(66^17-1,3055); (%o135) 260 (%i136) mod(66^19-1,3055); (%o136) 455 (%i137) mod(66^21-1,3055); (%o137) 585 (%i138) mod(66^23-1,3055); (%o138) 1690 (%i139) mod(66^25-1,3055); (%o139) 390 (%i140) mod(66^27-1,3055); (%o140) 1560 (%i141) mod(66^29-1,3055); (%o141) 2340 (%i142) mod(66^31-1,3055); (%o142) 2860 (%i143) mod(66^33-1,3055); (%o143) 1170 (%i144) mod(66^35-1,3055); (%o144) 2080 (%i145) mod(66^37-1,3055); (%o145) 650 (%i146) mod(66^39-1,3055); (%o146) 715 (%i147) mod(66^41-1,3055); (%o147) 2795 (%i148) mod(66^43-1,3055); (%o148) 2145 (%i149) mod(66^45-1,3055); (%o149) 2730 (%i150) mod(66^47-1,3055); (%o150) 65 (%i151) mod(66^49-1,3055); (%o151) 325 (%i152) mod(66^51-1,3055); (%o152) 2535 より、0にならない。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=47はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると47を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、 {70^(n+1)-1}/(80-1)=43Pとおける。 70^m-1=69x43P=2967P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i154) mod(70^3-1,2967); (%o154) 1794 (%i155) mod(70^5-1,2967); (%o155) 1311 (%i156) mod(70^7-1,2967); (%o156) 2277 (%i157) mod(70^9-1,2967); (%o157) 345 (%i158) mod(70^11-1,2967); (%o158) 1242 (%i159) mod(70^13-1,2967); (%o159) 2415 (%i160) mod(70^15-1,2967); (%o160) 69 (%i161) mod(70^17-1,2967); (%o161) 1794 (%i162) mod(70^19-1,2967); (%o162) 1311 より、0にならない。 よって、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=43はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると43を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、 {72^(n+1)-1}/(72-1)=41Pとおける。 72^m-1=71x41P=2911P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i164) mod(72^3-1,2911); (%o164) 639 (%i165) mod(72^5-1,2911); (%o165) 2130 (%i166) mod(72^7-1,2911); (%o166) 2769 (%i167) mod(72^9-1,2911); (%o167) 2627 (%i168) mod(72^11-1,2911); (%o168) 71 (%i169) mod(72^13-1,2911); (%o169) 639 (%i170) mod(72^15-1,2911); (%o170) 2130 (%i171) mod(72^17-1,2911); より、0にならない。 よって、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=41はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、 {76^(n+1)-1}/(76-1)=37Pとおける。 76^m-1=75x37P=2775P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i173) mod(76^3-1,2775); (%o173) 525 (%i174) mod(76^5-1,2775); (%o174) 2325 (%i175) mod(76^7-1,2775); (%o175) 1200 (%i176) mod(76^9-1,2775); (%o176) 2250 (%i177) mod(76^11-1,2775); (%o177) 900 (%i178) mod(76^13-1,2775); (%o178) 1050 (%i179) mod(76^15-1,2775); (%o179) 1650 (%i180) mod(76^17-1,2775); (%o180) 1275 (%i181) mod(76^19-1,2775); (%o181) 2550 (%i182) mod(76^21-1,2775); (%o182) 2100 (%i183) mod(76^23-1,2775); (%o183) 300 (%i184) mod(76^25-1,2775); (%o184) 1425 (%i185) mod(76^27-1,2775); (%o185) 375 (%i186) mod(76^29-1,2775); (%o186) 1725 (%i187) mod(76^31-1,2775); (%o187) 1575 (%i188) mod(76^33-1,2775); (%o188) 975 (%i189) mod(76^35-1,2775); (%o189) 1350 (%i190) mod(76^37-1,2775); (%o190) 75 (%i191) mod(76^39-1,2775); (%o191) 525 (%i192) mod(76^41-1,2775); (%o192) 2325 より、0にならない。 よって、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=37はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=41なので、 {82^(n+1)-1}/(82-1)=31Pとおける。 82^m-1=81x31P=2449P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i212) mod(82^3-1,2511); (%o212) 1458 (%i213) mod(82^5-1,2511); (%o213) 2349 (%i214) mod(82^7-1,2511); (%o214) 2187 (%i215) mod(82^9-1,2511); (%o215) 162 (%i216) mod(82^11-1,2511); (%o216) 1215 (%i217) mod(82^13-1,2511); (%o217) 567 (%i218) mod(82^15-1,2511); (%o218) 0 (%i219) mod(82^17-1,2511); (%o219) 1701 (%i220) mod(82^19-1,2511); (%o220) 1620 (%i221) mod(82^21-1,2511); (%o221) 1863 (%i222) mod(82^23-1,2511); (%o222) 1134 (%i223) mod(82^25-1,2511); (%o223) 810 (%i224) mod(82^27-1,2511); (%o224) 1782 (%i225) mod(82^29-1,2511); (%o225) 1377 (%i226) mod(82^31-1,2511); (%o226) 81 (%i227) mod(82^33-1,2511); (%o227) 1458 (%i228) mod(82^35-1,2511); (%o228) 2349 より、0になるときがある。 よって、p(x-82)={82^(n+1)-1}/(82-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-82=31はある。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=42なので、 {84^(n+1)-1}/(84-1)=29Pとおける。 84^m-1=83x29P=2407P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i230) mod(84^3-1,2407); (%o230) 581 (%i231) mod(84^5-1,2407); (%o231) 249 (%i232) mod(84^7-1,2407); (%o232) 2075 (%i233) mod(84^9-1,2407); (%o233) 1660 (%i234) mod(84^11-1,2407); (%o234) 332 (%i235) mod(84^13-1,2407); (%o235) 415 (%i236) mod(84^15-1,2407); (%o236) 1162 (%i237) mod(84^17-1,2407); (%o237) 664 (%i238) mod(84^19-1,2407); (%o238) 996 (%i239) mod(84^21-1,2407); (%o239) 1577 (%i240) mod(84^23-1,2407); (%o240) 1992 (%i241) mod(84^25-1,2407); (%o241) 913 (%i242) mod(84^27-1,2407); (%o242) 830 (%i243) mod(84^29-1,2407); (%o243) 83 (%i244) mod(84^31-1,2407); (%o244) 581 (%i245) mod(84^33-1,2407); (%o245) 249 より、0にならない。 よって、p(x-84)={84^(n+1)-1}/(84-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-84=29はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-86=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=43なので、p(x-86)={86^(n+1)-1}/(86-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-88=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=44なので、p(x-88)={88^(n+1)-1}/(88-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=45なので、 {90^(n+1)-1}/(90-1)=23Pとおける。 90^m-1=89x23P=2047P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i247) mod(90^3-1,2047); (%o247) 267 (%i248) mod(90^5-1,2047); (%o248) 979 (%i249) mod(90^7-1,2047); (%o249) 1780 (%i250) mod(90^9-1,2047); (%o250) 890 (%i251) mod(90^11-1,2047); (%o251) 1424 (%i252) mod(90^13-1,2047); (%o252) 1513 (%i253) mod(90^15-1,2047); (%o253) 1869 (%i254) mod(90^17-1,2047); (%o254) 1246 (%i255) mod(90^19-1,2047); (%o255) 801 (%i256) mod(90^21-1,2047); (%o256) 1068 (%i257) mod(90^23-1,2047); (%o257) 89 (%i258) mod(90^25-1,2047); (%o258) 267 (%i259) mod(90^27-1,2047); (%o259) 979 より、0にならない。 よって、p(x-90)={90^(n+1)-1}/(90-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-90=23はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-92=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=46なので、p(x-92)={92^(n+1)-1}/(92-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=47なので、 {94^(n+1)-1}/(94-1)=19Pとおける。 94^m-1=93x19P=1767P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i261) mod(94^3-1,1767); (%o261) 93 (%i262) mod(94^5-1,1767); (%o262) 93 (%i263) mod(94^7-1,1767); (%o263) 93 (%i264) mod(94^9-1,1767); (%o264) 93 より、0にならない。 よって、p(x-94)={94^(n+1)-1}/(94-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-94=19はない。 つまり、x=109なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=48なので、 {96^(n+1)-1}/(96-1)=17Pとおける。 96^m-1=95x17P=1615P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i266) mod(96^3-1,1615); (%o266) 1330 (%i267) mod(96^5-1,1615); (%o267) 570 (%i268) mod(96^7-1,1615); (%o268) 665 (%i269) mod(96^9-1,1615); (%o269) 855 (%i270) mod(96^11-1,1615); (%o270) 1235 (%i271) mod(96^13-1,1615); (%o271) 380 (%i272) mod(96^15-1,1615); (%o272) 285 (%i273) mod(96^17-1,1615); (%o273) 95 (%i274) mod(96^19-1,1615); (%o274) 1330 (%i275) mod(96^21-1,1615); (%o275) 570 より、0にならない。 よって、p(x-96)={96^(n+1)-1}/(96-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-96=17はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-98=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=49なので、p(x-98)={98^(n+1)-1}/(98-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=50なので、 {100^(n+1)-1}/(100-1)=13Pとおける。 100^m-1=99x13P=1287P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i277) mod(100^3-1,1287); (%o277) 0 (%i278) mod(100^5-1,1287); (%o278) 990 (%i279) mod(100^7-1,1287); (%o279) 99 (%i280) mod(100^9-1,1287); (%o280) 0 (%i281) mod(100^11-1,1287); (%o281) 990 (%i282) mod(100^13-1,1287); (%o282) 99 (%i283) mod(100^15-1,1287); (%o283) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-100)={100^(n+1)-1}/(100-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-100=13はある。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると13を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=51なので、 {102^(n+1)-1}/(102-1)=11Pとおける。 102^m-1=101x11P=1111P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i285) mod(102^3-1,1111); (%o285) 202 (%i286) mod(102^5-1,1111); (%o286) 0 (%i287) mod(102^7-1,1111); (%o287) 404 (%i288) mod(102^9-1,1111); (%o288) 707 (%i289) mod(102^11-1,1111); (%o289) 101 (%i290) mod(102^13-1,1111); (%o290) 202 (%i292) mod(102^15-1,1111); (%o292) 0 (%i291) mod(102^17-1,1111); (%o291) 404 より、0になるときがある。 よって、p(x-102)={102^(n+1)-1}/(102-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-102=11はある。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-104=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=52なので、p(x-104)={104^(n+1)-1}/(104-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-106=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=53なので、 {106^(n+1)-1}/(106-1)=7Pとおける。 106^m-1=105x7P=735P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i293) mod(106^3-1,735); (%o293) 315 (%i294) mod(106^5-1,735); (%o294) 525 (%i295) mod(106^7-1,735); (%o295) 0 (%i296) mod(106^9-1,735); (%o296) 210 (%i297) mod(106^11-1,735); (%o297) 420 (%i298) mod(106^13-1,735); (%o298) 630 (%i299) mod(106^15-1,735); (%o299) 105 (%i300) mod(106^17-1,735); (%o300) 315 (%i301) mod(106^19-1,735); (%o301) 525 より、0になるときがある。 よって、p(x-106)={106^(n+1)-1}/(106-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-106=7はある。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-108=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=54なので、 {108^(n+1)-1}/(108-1)=5Pとおける。 108^m-1=107x5P=535P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i302) mod(108^3-1,535); (%o302) 321 (%i303) mod(108^5-1,535); (%o303) 107 (%i304) mod(108^7-1,535); (%o304) 321 (%i305) mod(108^9-1,535); (%o305) 107 より、0にならない。 よって、p(x-108)={108^(n+1)-1}/(108-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-108=5はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-110=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=55なので、 {110^(n+1)-1}/(110-1)=3Pとおける。 110^m-1=109x3P=327P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i306) mod(110^3-1,327); (%o306) 109 (%i307) mod(110^5-1,327); (%o307) 109 (%i308) mod(110^7-1,327); (%o308) 109 (%i309) mod(110^9-1,327); (%o309) 109 より、0にならない。 よって、p(x-110)={110^(n+1)-1}/(110-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-110=3はない。 つまり、x=113なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=113なら、σ(x)を素因数分解した時、 109,107,103,101,97,89,79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,29,23,19,17,5,3は現れない、と言える。 (%i310) x:113; (%o310) 113 (%i311) factor(1+x+x^2); (%o311) 13 991 (%i312) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o312) 11 251 59581 (%i313) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o313) 7 44983 6670903 (%i314) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o314) 13 991 17047 122130181 (%i315) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o315) 617 555085255645420259 (%i316) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o316) 131 313 1951 68147 802198966531 (%i317) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o317) 11 13 31 251 691 991 59581 1230063939301 (%i318) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o318) 1259 1556610373 363839516808129960023 (%i319) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o319) 4278041 377213803 1813514509 3111134955989 (%i320) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o320) 7 13 991 13567 44983 6670903 316663040181701441887 (%i321) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o321) 1484520425576434196455942238665054573307722183 (%i322) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o322) 11 251 59581 3578951 5088701 30833851 205200499847359364701 (%i323) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o323) 13 991 3079 10531 17047 122130181 38152567561789 7294724775686323 (%i324) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o324) 149562223 20664977023059597906619839157119116459111756243347 (%i325) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o325) 311 18682399 579009073 11731007814679760171961685270461155772469799 (%i326) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o326) 13 617 991 32143 555085255645420259 3553221993008446261199442968293093903 (%i327) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o327) 7 11 211 251 44983 59581 6670903 8871241 11693052047111 850800050669737206419187941