x=83では、x-2=81(3^4),x^4=79,x-6=77(11x7),x-8=75(5^2x3),x-10=73,x-12=71,x-14=69(3x23),x-16=67,x-18=65(5x13), x-20=63(3x21),x-22=61,x-24=59,x-26=57(3x19),x-28=55(5x11),x-30=53,x-32=51(3x17),x-34=49(7x7), x-36=47,x-38=45(5x9),x-40=43,x-42=41,x-44=39(3x13),x-46=37,x-48=35(5x7),x-50=33(3x11),x-52=31, x-54=29,x-56=27(3x9),x-58=25(5x5),x-60=23,x-62=21(3x7),x-64=19,x-66=17,x-68=15(3x5), x-70=13,x-72=11,x-74=9(3x3),x-76=7,x-78=5,x-80=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=81(=3^4)とすると、81は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=79とすると、σ(x)の素因数分解に79が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、 {4^(n+1)-1}/(4-1)=79Pとおける。 4^m-1=3x79P=237P nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(4^3-1,237); (%o2) 63 (%i3) mod(4^5-1,237); (%o3) 75 (%i4) mod(4^7-1,237); (%o4) 30 (%i5) mod(4^9-1,237); (%o5) 21 (%i6) mod(4^11-1,237); (%o6) 114 (%i7) mod(4^13-1,237); (%o7) 180 (%i9) mod(4^15-1,237); (%o9) 51 (%i10) mod(4^17-1,237); (%o10) 120 (%i11) mod(4^19-1,237); (%o11) 39 (%i12) mod(4^21-1,237); (%o12) 165 (%i13) mod(4^23-1,237); (%o13) 48 (%i14) mod(4^25-1,237); (%o14) 72 (%i15) mod(4^27-1,237); (%o15) 219 (%i16) mod(4^29-1,237); (%o16) 201 (%i17) mod(4^31-1,237); (%o17) 150 (%i18) mod(4^33-1,237); (%o18) 45 (%i19) mod(4^35-1,237); (%o19) 24 (%i20) mod(4^37-1,237); (%o20) 162 (%i21) mod(4^39-1,237); (%o21) 0 (%i22) mod(4^41-1,237); (%o22) 15 (%i23) mod(4^43-1,237); (%o23) 18 (%i24) mod(4^45-1,237); (%o24) 66 (%i25) mod(4^47-1,237); (%o25) 123 (%i26) mod(4^49-1,237); (%o26) 87 (%i28) mod(4^51-1,237); (%o28) 222 (%i29) mod(4^53-1,237); (%o29) 12 (%i30) mod(4^55-1,237); (%o30) 207 (%i31) mod(4^57-1,237); (%o31) 9 (%i32) mod(4^59-1,237); (%o32) 159 (%i33) mod(4^61-1,237); (%o33) 189 (%i34) mod(4^63-1,237); (%o34) 195 (%i35) mod(4^65-1,237); (%o35) 54 (%i36) mod(4^67-1,237); (%o36) 168 (%i37) mod(4^69-1,237); (%o37) 96 (%i38) mod(4^71-1,237); (%o38) 129 (%i39) mod(4^73-1,237); (%o39) 183 (%i40) mod(4^75-1,237); (%o40) 99 (%i41) mod(4^77-1,237); (%o41) 177 (%i42) mod(4^79-1,237); (%o42) 3 (%i43) mod(4^81-1,237); (%o43) 63 (%i44) mod(4^83-1,237); (%o44) 75 より、0になるときがある。 よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=79はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると79を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=77(=7x11)とすると、77は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=75(=3x5^2)とすると、75は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=73とすると、σ(x)の素因数分解に73が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、 {10^(n+1)-1}/(10-1)=73Pとおける。 10^m-1=9x73P=657P nは偶数なのでmは奇数。 (%i50) mod(10^3-1,657); (%o50) 342 (%i51) mod(10^5-1,657); (%o51) 135 (%i52) mod(10^7-1,657); (%o52) 459 (%i53) mod(10^9-1,657); (%o53) 9 (%i54) mod(10^11-1,657); (%o54) 342 (%i55) mod(10^13-1,657); (%o55) 135 (%i56) mod(10^15-1,657); より、0にならない。 よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=73はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると73を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=71とすると、σ(x)の素因数分解に71が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、 {12^(n+1)-1}/(12-1)=71Pとおける。 12^m-1=11x71P=781P nは偶数なのでmは奇数。 (%i59) mod(12^3-1,781); (%o59) 165 (%i60) mod(12^5-1,781); (%o60) 473 (%i61) mod(12^7-1,781); (%o61) 308 (%i62) mod(12^9-1,781); (%o62) 759 (%i63) mod(12^11-1,781); (%o63) 99 (%i64) mod(12^13-1,781); (%o64) 341 (%i65) mod(12^15-1,781); (%o65) 44 (%i66) mod(12^17-1,781); (%o66) 231 (%i67) mod(12^19-1,781); (%o67) 605 (%i68) mod(12^21-1,781); (%o68) 572 (%i69) mod(12^23-1,781); (%o69) 506 (%i70) mod(12^25-1,781); (%o70) 374 (%i71) mod(12^27-1,781); (%o71) 110 (%i72) mod(12^29-1,781); (%o72) 363 (%i73) mod(12^31-1,781); (%o73) 88 (%i74) mod(12^33-1,781); (%o74) 319 (%i75) mod(12^35-1,781); (%o75) 0 (%i76) mod(12^37-1,781); (%o76) 143 (%i77) mod(12^39-1,781); (%o77) 429 (%i78) mod(12^41-1,781); (%o78) 220 (%i79) mod(12^43-1,781); (%o79) 583 (%i80) mod(12^45-1,781); (%o80) 528 (%i81) mod(12^47-1,781); (%o81) 418 (%i82) mod(12^49-1,781); (%o82) 198 (%i83) mod(12^51-1,781); (%o83) 539 (%i84) mod(12^53-1,781); (%o84) 440 (%i85) mod(12^55-1,781); (%o85) 242 (%i86) mod(12^57-1,781); (%o86) 627 (%i87) mod(12^59-1,781); (%o87) 616 (%i88) mod(12^61-1,781); (%o88) 594 (%i89) mod(12^63-1,781); (%o89) 550 (%i90) mod(12^65-1,781); (%o90) 462 (%i91) mod(12^67-1,781); (%o91) 286 (%i92) mod(12^69-1,781); (%o92) 715 (%i93) mod(12^71-1,781); (%o93) 11 (%i94) mod(12^73-1,781); (%o94) 165 (%i95) mod(12^75-1,781); (%o95) 473 より、0になるときがある。 よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=71はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると71を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、 {16^(n+1)-1}/(16-1)=67Pとおける。 16^m-1=15x67P=1005P nは偶数なのでmは奇数。 (%i97) mod(16^3-1,1005); (%o97) 75 (%i98) mod(16^5-1,1005); (%o98) 360 (%i99) mod(16^7-1,1005); (%o99) 960 (%i100) mod(16^9-1,1005); (%o100) 795 (%i101) mod(16^11-1,1005); (%o101) 765 (%i102) mod(16^13-1,1005); (%o102) 120 (%i103) mod(16^15-1,1005); (%o103) 825 (%i104) mod(16^17-1,1005); (%o104) 405 (%i105) mod(16^19-1,1005); (%o105) 420 (%i106) mod(16^21-1,1005); (%o106) 240 (%i107) mod(16^23-1,1005); (%o107) 390 (%i108) mod(16^25-1,1005); (%o108) 600 (%i109) mod(16^27-1,1005); (%o109) 90 (%i110) mod(16^29-1,1005); (%o110) 180 (%i111) mod(16^31-1,1005); (%o111) 105 (%i112) mod(16^33-1,1005); (%o112) 0 (%i113) mod(16^35-1,1005); (%o113) 255 (%i114) mod(16^37-1,1005); (%o114) 210 (%i115) mod(16^39-1,1005); (%o115) 750 (%i116) mod(16^41-1,1005); (%o116) 300 (%i117) mod(16^43-1,1005); (%o117) 675 (%i118) mod(16^45-1,1005); (%o118) 195 (%i119) mod(16^47-1,1005); (%o119) 930 (%i120) mod(16^49-1,1005); (%o120) 150 (%i121) mod(16^51-1,1005); (%o121) 465 (%i122) mod(16^53-1,1005); (%o122) 705 (%i123) mod(16^55-1,1005); (%o123) 840 (%i124) mod(16^57-1,1005); (%o124) 225 (%i125) mod(16^59-1,1005); (%o125) 570 (%i126) mod(16^61-1,1005); (%o126) 450 (%i127) mod(16^63-1,1005); (%o127) 885 (%i128) mod(16^65-1,1005); (%o128) 690 (%i129) mod(16^67-1,1005); (%o129) 15 (%i130) mod(16^69-1,1005); (%o130) 75 (%i131) mod(16^71-1,1005); (%o131) 360 より、0になるときがある。 よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=67はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると67を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、 {22^(n+1)-1}/(22-1)=61Pとおける。 22^m-1=21x61P=1281P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i133) mod(22^3-1,1281); (%o133) 399 (%i134) mod(22^5-1,1281); (%o134) 168 (%i135) mod(22^7-1,1281); (%o135) 1092 (%i136) mod(22^9-1,1281); (%o136) 1239 (%i137) mod(22^11-1,1281); (%o137) 651 (%i138) mod(22^13-1,1281); (%o138) 441 (%i139) mod(22^15-1,1281); (%o139) 0 (%i140) mod(22^17-1,1281); (%o140) 483 (%i141) mod(22^19-1,1281); (%o141) 1113 (%i142) mod(22^21-1,1281); (%o142) 1155 (%i143) mod(22^23-1,1281); (%o143) 987 (%i144) mod(22^25-1,1281); (%o144) 378 (%i145) mod(22^27-1,1281); (%o145) 252 (%i146) mod(22^29-1,1281); (%o146) 756 (%i147) mod(22^31-1,1281); (%o147) 21 (%i148) mod(22^33-1,1281); (%o148) 399 (%i149) mod(22^35-1,1281); (%o149) 168 より、0になるときがある。 よって、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=61はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると61を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/(24-1)=59Pとおける。 24^m-1=23x59P=1357P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i151) mod(24^3-1,1357); (%o151) 253 (%i152) mod(24^5-1,1357); (%o152) 1104 (%i153) mod(24^7-1,1357); (%o153) 46 (%i154) mod(24^9-1,1357); (%o154) 1288 (%i155) mod(24^11-1,1357); (%o155) 184 (%i156) mod(24^13-1,1357); (%o156) 713 (%i157) mod(24^15-1,1357); (%o157) 92 (%i158) mod(24^17-1,1357); (%o158) 644 (%i159) mod(24^19-1,1357); (%o159) 1058 (%i160) mod(24^21-1,1357); (%o160) 690 (%i161) mod(24^23-1,1357); (%o161) 414 (%i162) mod(24^25-1,1357); (%o162) 207 (%i163) mod(24^27-1,1357); (%o163) 391 (%i164) mod(24^29-1,1357); (%o164) 529 (%i165) mod(24^31-1,1357); (%o165) 1311 (%i166) mod(24^33-1,1357); (%o166) 1219 (%i167) mod(24^35-1,1357); (%o167) 1150 (%i168) mod(24^37-1,1357); (%o168) 759 (%i169) mod(24^39-1,1357); (%o169) 805 (%i170) mod(24^41-1,1357); (%o170) 161 (%i171) mod(24^43-1,1357); (%o171) 1035 (%i172) mod(24^45-1,1357); (%o172) 1012 (%i173) mod(24^47-1,1357); (%o173) 1334 (%i174) mod(24^49-1,1357); (%o174) 897 (%i175) mod(24^51-1,1357); (%o175) 230 (%i176) mod(24^53-1,1357); (%o176) 69 (%i177) mod(24^55-1,1357); (%o177) 966 (%i178) mod(24^57-1,1357); (%o178) 621 (%i179) mod(24^59-1,1357); (%o179) 23 (%i180) mod(24^61-1,1357); (%o180) 253 (%i181) mod(24^63-1,1357); (%o181) 1104 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=59はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/(30-1)=53Pとおける。 30^m-1=29x53P=1537P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i183) mod(30^3-1,1537); (%o183) 870 (%i184) mod(30^5-1,1537); (%o184) 29 (%i185) mod(30^7-1,1537); (%o185) 870 (%i186) mod(30^9-1,1537); (%o186) 29 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/(30-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=53はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、 {36^(n+1)-1}/(36-1)=47Pとおける。 36^m-1=35x47P=1645P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i188) mod(36^3-1,1645); (%o188) 595 (%i189) mod(36^5-1,1645); (%o189) 910 (%i190) mod(36^7-1,1645); (%o190) 1190 (%i191) mod(36^9-1,1645); (%o191) 525 (%i192) mod(36^11-1,1645); (%o192) 665 (%i193) mod(36^13-1,1645); (%o193) 1155 (%i194) mod(36^15-1,1645); (%o194) 1225 (%i195) mod(36^17-1,1645); (%o195) 1470 (%i196) mod(36^19-1,1645); (%o196) 1505 (%i197) mod(36^21-1,1645); (%o197) 805 (%i198) mod(36^23-1,1645); (%o198) 0 (%i199) mod(36^25-1,1645); (%o199) 1295 (%i200) mod(36^27-1,1645); (%o200) 70 (%i201) mod(36^29-1,1645); (%o201) 1540 (%i202) mod(36^31-1,1645); (%o202) 105 (%i203) mod(36^33-1,1645); (%o203) 840 (%i204) mod(36^35-1,1645); (%o204) 945 (%i205) mod(36^37-1,1645); (%o205) 490 (%i206) mod(36^39-1,1645); (%o206) 1365 (%i207) mod(36^41-1,1645); (%o207) 315 (%i208) mod(36^43-1,1645); (%o208) 1575 (%i209) mod(36^45-1,1645); (%o209) 1050 (%i210) mod(36^47-1,1645); (%o210) 35 (%i211) mod(36^49-1,1645); (%o211) 595 (%i212) mod(36^51-1,1645); (%o212) 910 より、0になるときがある。 よって、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=47はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると47を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、 {40^(n+1)-1}/(40-1)=43Pとおける。 40^m-1=39x43P=1677P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i214) mod(40^3-1,1677); (%o214) 273 (%i215) mod(40^5-1,1677); (%o215) 702 (%i216) mod(40^7-1,1677); (%o216) 1209 (%i217) mod(40^9-1,1677); (%o217) 741 (%i218) mod(40^11-1,1677); (%o218) 1560 (%i220) mod(40^13-1,1677); (%o220) 546 (%i221) mod(40^15-1,1677); (%o221) 1482 (%i222) mod(40^17-1,1677); (%o222) 1521 (%i223) mod(40^19-1,1677); (%o223) 195 (%i224) mod(40^21-1,1677); (%o224) 0 (%i225) mod(40^23-1,1677); (%o225) 1599 (%i226) mod(40^25-1,1677); (%o226) 897 (%i227) mod(40^27-1,1677); (%o227) 1287 (%i228) mod(40^29-1,1677); (%o228) 1443 (%i229) mod(40^31-1,1677); (%o229) 1170 (%i230) mod(40^33-1,1677); (%o230) 390 (%i231) mod(40^35-1,1677); (%o231) 78 (%i232) mod(40^37-1,1677); (%o232) 624 (%i233) mod(40^39-1,1677); (%o233) 507 (%i234) mod(40^41-1,1677); (%o234) 1131 (%i235) mod(40^43-1,1677); (%o235) 39 (%i236) mod(40^45-1,1677); (%o236) 273 (%i237) mod(40^47-1,1677); (%o237) 702 より、0になるときがある。 よって、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=43はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると43を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/(42-1)=41Pとおける。 42^m-1=41x41P=1681P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i239) mod(42^3-1,1681); (%o239) 123 (%i240) mod(42^5-1,1681); (%o240) 205 (%i241) mod(42^7-1,1681); (%o241) 287 (%i242) mod(42^9-1,1681); (%o242) 369 (%i243) mod(42^11-1,1681); (%o243) 451 (%i244) mod(42^13-1,1681); (%o244) 533 (%i245) mod(42^15-1,1681); (%o245) 615 (%i246) mod(42^17-1,1681); (%o246) 697 (%i247) mod(42^19-1,1681); (%o247) 779 (%i248) mod(42^21-1,1681); (%o248) 861 (%i249) mod(42^23-1,1681); (%o249) 943 (%i250) mod(42^25-1,1681); (%o250) 1025 (%i251) mod(42^27-1,1681); (%o251) 1107 (%i252) mod(42^29-1,1681); (%o252) 1189 (%i253) mod(42^31-1,1681); (%o253) 1271 (%i254) mod(42^33-1,1681); (%o254) 1353 (%i256) mod(42^35-1,1681); (%o256) 1435 (%i257) mod(42^37-1,1681); (%o257) 1517 (%i258) mod(42^39-1,1681); (%o258) 1599 (%i259) mod(42^41-1,1681); (%o259) 0 (%i260) mod(42^43-1,1681); (%o260) 82 (%i261) mod(42^45-1,1681); (%o261) 164 (%i262) mod(42^47-1,1681); (%o262) 246 (%i263) mod(42^49-1,1681); (%o263) 328 (%i264) mod(42^51-1,1681); (%o264) 410 (%i265) mod(42^53-1,1681); (%o265) 492 (%i266) mod(42^55-1,1681); (%o266) 574 (%i267) mod(42^57-1,1681); (%o267) 656 (%i268) mod(42^59-1,1681); (%o268) 738 (%i269) mod(42^61-1,1681); (%o269) 820 (%i270) mod(42^63-1,1681); (%o270) 902 (%i271) mod(42^65-1,1681); (%o271) 984 (%i272) mod(42^67-1,1681); (%o272) 1066 (%i273) mod(42^69-1,1681); (%o273) 1148 (%i274) mod(42^71-1,1681); (%o274) 1230 (%i275) mod(42^73-1,1681); (%o275) 1312 (%i276) mod(42^75-1,1681); (%o276) 1394 (%i277) mod(42^77-1,1681); (%o277) 1476 (%i278) mod(42^79-1,1681); (%o278) 1558 (%i279) mod(42^81-1,1681); (%o279) 1640 (%i280) mod(42^83-1,1681); (%o280) 41 (%i281) mod(42^85-1,1681); (%o281) 123 (%i282) mod(42^87-1,1681); (%o282) 205 より、0になるときがある。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=41はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると41を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-44)={44^(n+1)-1}/(44-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、 {46^(n+1)-1}/(46-1)=37Pとおける。 46^m-1=45x37P=1665P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i284) mod(46^3-1,1665); (%o284) 765 (%i285) mod(46^5-1,1665); (%o285) 810 (%i286) mod(46^7-1,1665); (%o286) 1125 (%i287) mod(46^9-1,1665); (%o287) 0 (%i288) mod(46^11-1,1665); (%o288) 450 (%i289) mod(46^13-1,1665); (%o289) 270 (%i290) mod(46^15-1,1665); (%o290) 675 (%i291) mod(46^17-1,1665); (%o291) 180 (%i292) mod(46^19-1,1665); (%o292) 45 (%i293) mod(46^21-1,1665); (%o293) 765 (%i294) mod(46^23-1,1665); (%o294) 810 (%i295) mod(46^25-1,1665); (%o295) 1125 (%i296) mod(46^27-1,1665); (%o296) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-46)={46^(n+1)-1}/(46-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=37はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると37を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、 {52^(n+1)-1}/(52-1)=31Pとおける。 52^m-1=51x31P=1581P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i298) mod(52^3-1,1581); (%o298) 1479 (%i299) mod(52^5-1,1581); (%o299) 408 (%i300) mod(52^7-1,1581); (%o300) 816 (%i301) mod(52^9-1,1581); (%o301) 510 (%i302) mod(52^11-1,1581); (%o302) 1530 (%i303) mod(52^13-1,1581); (%o303) 765 (%i304) mod(52^15-1,1581); (%o304) 153 (%i305) mod(52^17-1,1581); (%o305) 612 (%i306) mod(52^19-1,1581); (%o306) 663 (%i307) mod(52^21-1,1581); (%o307) 1020 (%i308) mod(52^23-1,1581); (%o308) 357 (%i309) mod(52^25-1,1581); (%o309) 459 (%i310) mod(52^27-1,1581); (%o310) 1173 (%i311) mod(52^29-1,1581); (%o311) 1428 (%i312) mod(52^31-1,1581); (%o312) 51 (%i313) mod(52^33-1,1581); (%o313) 1479 (%i314) mod(52^35-1,1581); (%o314) 408 (%i315) mod(52^37-1,1581); より、0にならない。 よって、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=31はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると31を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/(54-1)=29Pとおける。 54^m-1=53x29P=1537P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i317) mod(54^3-1,1537); (%o317) 689 (%i318) mod(54^5-1,1537); (%o318) 106 (%i319) mod(54^7-1,1537); (%o319) 0 (%i320) mod(54^9-1,1537); (%o320) 1378 (%i321) mod(54^11-1,1537); (%o321) 371 (%i322) mod(54^13-1,1537); (%o322) 1166 (%i323) mod(54^15-1,1537); (%o323) 53 (%i324) mod(54^17-1,1537); (%o324) 689 (%i325) mod(54^19-1,1537); (%o325) 106 より、0になるときがある。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=29はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると29を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/(60-1)=23Pとおける。 60^m-1=59x23P=1357P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i327) mod(60^3-1,1357); (%o327) 236 (%i328) mod(60^5-1,1357); (%o328) 1003 (%i329) mod(60^7-1,1357); (%o329) 708 (%i330) mod(60^9-1,1357); (%o330) 1239 (%i331) mod(60^11-1,1357); (%o331) 826 (%i332) mod(60^13-1,1357); (%o332) 1298 (%i333) mod(60^15-1,1357); (%o333) 177 (%i334) mod(60^17-1,1357); (%o334) 295 (%i335) mod(60^19-1,1357); (%o335) 354 (%i336) mod(60^21-1,1357); (%o336) 1062 (%i337) mod(60^23-1,1357); (%o337) 59 (%i338) mod(60^25-1,1357); (%o338) 236 (%i339) mod(60^27-1,1357); (%o339) 1003 より、0にならない。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=23はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、 {64^(n+1)-1}/(64-1)=19Pとおける。 64^m-1=63x19P=1197P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i341) mod(64^3-1,1197); (%o341) 0 (%i342) mod(64^5-1,1197); (%o342) 504 (%i343) mod(64^7-1,1197); (%o343) 63 (%i344) mod(64^9-1,1197); (%o344) 0 (%i345) mod(64^11-1,1197); (%o345) 504 (%i346) mod(64^13-1,1197); (%o346) 63 より、0になるときがある。 よって、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=19はある。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると19を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/(66-1)=17Pとおける。 66^m-1=65x17P=1105P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i348) mod(66^3-1,1105); (%o348) 195 (%i349) mod(66^5-1,1105); (%o349) 715 (%i350) mod(66^7-1,1105); (%o350) 585 (%i351) mod(66^9-1,1105); (%o351) 65 (%i352) mod(66^11-1,1105); (%o352) 195 (%i353) mod(66^13-1,1105); (%o353) 715 より、0にならない。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=17はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=35なので、 {70^(n+1)-1}/(70-1)=13Pとおける。 70^m-1=69x13P=897P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i355) mod(70^3-1,897); (%o355) 345 (%i356) mod(70^5-1,897); (%o356) 69 (%i357) mod(70^7-1,897); (%o357) 345 (%i358) mod(70^9-1,897); (%o358) 69 より、0にならない。 よって、p(x-70)={70^(n+1)-1}/(70-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-70=13はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=36なので、 {72^(n+1)-1}/(72-1)=11Pとおける。 72^m-1=71x11P=781P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i360) mod(72^3-1,781); (%o360) 710 (%i361) mod(72^5-1,781); (%o361) 284 (%i362) mod(72^7-1,781); (%o362) 568 (%i363) mod(72^9-1,781); (%o363) 639 (%i364) mod(72^11-1,781); (%o364) 71 (%i365) mod(72^13-1,781); (%o365) 710 (%i366) mod(72^15-1,781); (%o366) 284 より、0にならない。 よって、p(x-72)={72^(n+1)-1}/(72-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-72=11はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-74=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=37なので、p(x-74)={74^(n+1)-1}/(74-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=38なので、 {76^(n+1)-1}/(76-1)=7Pとおける。 76^m-1=75x7P=525P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i368) mod(76^3-1,525); (%o368) 75 (%i369) mod(76^5-1,525); (%o369) 75 (%i370) mod(76^5-1,525); (%o370) 75 より、0にならない。 よって、p(x-76)={76^(n+1)-1}/(76-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-76=7はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=39なので、 {78^(n+1)-1}/(78-1)=5Pとおける。 78^m-1=77x5P=385P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i376) mod(78^3-1,385); (%o376) 231 (%i377) mod(78^5-1,385); (%o377) 77 (%i378) mod(78^7-1,385); (%o378) 231 (%i379) mod(78^9-1,385); (%o379) 77 より、0にならない。 よって、p(x-78)={78^(n+1)-1}/(78-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-78=5はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=40なので、 {80^(n+1)-1}/(80-1)=3Pとおける。 80^m-1=79x3P=237P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i381) mod(80^3-1,237); (%o381) 79 (%i382) mod(80^5-1,237); (%o382) 79 (%i383) mod(80^7-1,237); (%o383) 79 (%i384) mod(80^9-1,237); (%o384) 79 より、0にならない。 よって、p(x-80)={80^(n+1)-1}/(80-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-80=3はない。 つまり、x=83なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=83なら、σ(x)を素因数分解した時、 73,59,53,31,23,17,13,11,7,5,3は現れない、と言える。 (%i385) x:83; (%o385) 83 (%i386) factor(1+x+x^2); (%o386) 19 367 (%i387) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o387) 48037081 (%i388) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o388) 29 11411291417 (%i389) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o389) 19 37 367 64153 137737 (%i390) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o390) 13003 75527 15991874273 (%i391) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o391) 1249 1396513 1423319 43580447 (%i392) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o392) 19 61 211 331 367 48037081 522301141 (%i393) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o393) 409 1259 8161 17056050293 71637897967 (%i394) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o394) 6689 11933 1408429185797 314647329516077 (%i395) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o395) 19 29 43 367 5209 11411291417 471466473538254307 (%i396) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o396) 47 35717776412461579780294661897628959210459 (%i397) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); (%o397) 1951 48037081 123396993431156712980914532600062951 (%i398) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o398) 19 37 271 367 64153 137737 4840642297 26639948479618838441899 (%i399) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o399) 62351 63512437 500805747488153 276744706017989291038560451 (%i400) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o400) 311 461587317509 3793685967117002179453 6942747590923921265779 (%i401) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o401) 19 67 367 13003 75527 15991874273 23462266952039257 151305108917874402811 (%i402) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o402) 29 71 631 68041 333131 48037081 11411291417 322401443981 34477800677668178951