x=31では、x-2=29,x-4=27(3x9),x-6=25(5x5),x-8=23,x-10=21(3x7),x-12=19,x-14=17,
x-16=15(3x5),x-18=13,x-20=11,x-22=9(3x3),x-24=7,x-26=5,x-28=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、
{2^(n+1)-1}/(2-1)=29Pとおける。
2^m-1=29P nは偶数なのでmは奇数。
(%i1) mod(2^3-1,29);
(%o1)                                  7
(%i2) mod(2^5-1,29);
(%o2)                                  2
(%i3) mod(2^7-1,29);
(%o3)                                 11
(%i4) mod(2^9-1,29);
(%o4)                                 18
(%i5) mod(2^11-1,29);
(%o5)                                 17
(%i6) mod(2^13-1,29);
(%o6)                                 13
(%i7) mod(2^15-1,29);
(%o7)                                 26
(%i8) mod(2^17-1,29);
(%o8)                                 20
(%i9) mod(2^19-1,29);
(%o9)                                 25
(%i10) mod(2^21-1,29);
(%o10)                                16
(%i11) mod(2^23-1,29);
(%o11)                                 9
(%i12) mod(2^25-1,29);
(%o12)                                10
(%i13) mod(2^27-1,29);
(%o13)                                14
(%i14) mod(2^29-1,29);
(%o14)                                 1
(%i15) mod(2^31-1,29);
(%o15)                                 7
(%i16) mod(2^33-1,29);
(%o16)                                 2
(%i17) mod(2^35-1,29);
(%o17)                                11
より、0にならない。
よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=29はない。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=27(=3x9)とすると、27は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/3がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=25(=5x5)とすると、25は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、
{8^(n+1)-1}/7=23Pとおける。
8^m-1=7x23P=161P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i19) mod(8^3-1,161);
(%o19)                                28
(%i20) mod(8^5-1,161);
(%o20)                                84
(%i21) mod(8^7-1,161);
(%o21)                                126
(%i22) mod(8^9-1,161);
(%o22)                                77
(%i23) mod(8^11-1,161);
(%o23)                                 0
(%i24) mod(8^13-1,161);
(%o24)                                63
(%i25) mod(8^15-1,161);
(%o25)                                70
(%i26) mod(8^17-1,161);
(%o26)                                35
(%i27) mod(8^19-1,161);
(%o27)                                49
(%i28) mod(8^21-1,161);
(%o28)                                140
(%i29) mod(8^23-1,161);
(%o29)                                 7
(%i30) mod(8^25-1,161);
(%o30)                                28
(%i31) mod(8^27-1,161);
(%o31)                                84
(%i32) mod(8^29-1,161);
(%o32)                                126
(%i33) mod(8^31-1,161);
(%o33)                                77
(%i34) mod(8^33-1,161);
(%o34)                                 0
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=23はある。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると23を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=21(=3x7)とすると、21は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、
{12^(n+1)-1}/11=19Pとおける。
12^m-1=11x19P=209P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i36) mod(12^3-1,209);
(%o36)                                55
(%i37) mod(12^5-1,209);
(%o37)                                121
(%i38) mod(12^7-1,209);
(%o38)                                11
(%i39) mod(12^9-1,209);
(%o39)                                55
(%i40) mod(12^11-1,209);
(%o40)                                121
(%i41) mod(12^13-1,209);
(%o41)                                11
(%i42) mod(12^15-1,209);
(%o42)                                55
(%i43) mod(12^17-1,209);
(%o43)                                121
(%i44) mod(12^19-1,209);
(%o44)                                11
(%i45) mod(12^21-1,209);
(%o45)                                55
(%i46) mod(12^23-1,209);
(%o46)                                121
(%i47) mod(12^25-1,209);
(%o47)                                11
(%i48) mod(12^27-1,209);
(%o48)                                55
(%i49) mod(12^29-1,209);
(%o49)                                121
(%i50) mod(12^31-1,209);
(%o50)                                11
より、0にならない。
よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=19はない。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、
{14^(n+1)-1}/13=17Pとおける。
14^m-1=13x17P=221P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i52) mod(14^3-1,221);
(%o52)                                91
(%i54) mod(14^5-1,221);
(%o54)                                130
(%i55) mod(14^7-1,221);
(%o55)                                39
(%i56) mod(14^9-1,221);
(%o56)                                104
(%i57) mod(14^11-1,221);
(%o57)                                26
(%i58) mod(14^13-1,221);
(%o58)                                208
(%i59) mod(14^15-1,221);
(%o59)                                78
(%i60) mod(14^17-1,221);
(%o60)                                13
(%i61) mod(14^19-1,221);
(%o61)                                91
(%i62) mod(14^21-1,221);
(%o62)                                130
(%i63) mod(14^23-1,221);
(%o63)                                39
(%i64) mod(14^25-1,221);
(%o64)                                104
(%i65) mod(14^27-1,221);
(%o65)                                26
(%i66) mod(14^29-1,221);
(%o66)                                208
(%i67) mod(14^31-1,221);
(%o67)                                78
より、0にならない。
よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=17はない。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=15(=3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、
{18^(n+1)-1}/17=13Pとおける。
18^m-1=17x13P=221P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i68) mod(18^3-1,221);
(%o68)                                85
(%i69) mod(18^5-1,221);
(%o69)                                17
(%i70) mod(18^7-1,221);
(%o70)                                85
(%i71) mod(18^9-1,221);
(%o71)                                17
(%i72) mod(18^11-1,221);
(%o72)                                85
(%i73) mod(18^13-1,221);
(%o73)                                17
(%i74) mod(18^15-1,221);
(%o74)                                85
(%i75) mod(18^17-1,221);
(%o75)                                17
(%i76) mod(18^19-1,221);
(%o76)                                85
(%i77) mod(18^21-1,221);
(%o77)                                17
(%i78) mod(18^23-1,221);
(%o78)                                85
(%i79) mod(18^25-1,221);
(%o79)                                17
(%i80) mod(18^27-1,221);
(%o80)                                85
(%i81) mod(18^29-1,221);
(%o81)                                17
(%i82) mod(18^31-1,221);
(%o82)                                85
より、0にならない。
よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/17がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=13はない。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、
{20^(n+1)-1}/19=11Pとおける。
20^m-1=19x11P=209P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i84) mod(20^3-1,209);
(%o84)                                57
(%i85) mod(20^5-1,209);
(%o85)                                 0
(%i86) mod(20^7-1,209);
(%o86)                                190
(%i87) mod(20^9-1,209);
(%o87)                                114
(%i88) mod(20^11-1,209);
(%o88)                                19
(%i89) mod(20^13-1,209);
(%o89)                                57
(%i90) mod(20^15-1,209);
(%o90)                                 0
(%i91) mod(20^17-1,209);
(%o91)                                190
(%i92) mod(20^19-1,209);
(%o92)                                114
(%i93) mod(20^21-1,209);
(%o93)                                19
(%i94) mod(20^23-1,209);
(%o94)                                57
(%i95) mod(20^25-1,209);
(%o95)                                 0
(%i96) mod(20^27-1,209);
(%o96)                                190
(%i97) mod(20^29-1,209);
(%o97)                                114
(%i98) mod(20^31-1,209);
(%o98)                                19
より、0になるときがある。
よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=11はある。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=9(=3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/21がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、
{24^(n+1)-1}/23=7Pとおける。
24^m-1=23x7P=161P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i100) mod(24^3-1,161);
(%o100)                               138
(%i101) mod(24^5-1,161);
(%o101)                               46
(%i102) mod(24^7-1,161);
(%o102)                               23
(%i103) mod(24^9-1,161);
(%o103)                               138
(%i104) mod(24^11-1,161);
(%o104)                               46
(%i105) mod(24^13-1,161);
(%o105)                               23
(%i106) mod(24^15-1,161);
(%o106)                               138
(%i107) mod(24^17-1,161);
(%o107)                               46
(%i108) mod(24^19-1,161);
(%o108)                               23
(%i109) mod(24^21-1,161);
(%o109)                               138
(%i110) mod(24^23-1,161);
(%o110)                               46
(%i111) mod(24^25-1,161);
(%o111)                               23
(%i112) mod(24^27-1,161);
(%o112)                               138
(%i113) mod(24^29-1,161);
(%o113)                               46
(%i114) mod(24^31-1,161);
(%o114)                               23
より、0にならない。
よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/23がありえないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=7はない。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、
{26^(n+1)-1}/25=5Pとおける。
26^m-1=25x5P=125P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i115) mod(26^3-1,125);
(%o115)                               75
(%i116) mod(26^5-1,125);
(%o116)                                0
(%i117) mod(26^7-1,125);
(%o117)                               50
(%i118) mod(26^9-1,125);
(%o118)                               100
(%i119) mod(26^11-1,125);
(%o119)                               25
(%i120) mod(26^13-1,125);
(%o120)                               75
(%i121) mod(26^15-1,125);
(%o121)                                0
(%i122) mod(26^17-1,125);
(%o122)                               50
(%i123) mod(26^19-1,125);
(%o123)                               100
(%i124) mod(26^21-1,125);
(%o124)                               25
(%i125) mod(26^23-1,125);
(%o125)                               75
(%i126) mod(26^25-1,125);
(%o126)                                0
(%i127) mod(26^27-1,125);
(%o127)                               50
(%i128) mod(26^29-1,125);
(%o128)                               100
(%i129) mod(26^31-1,125);
(%o129)                               25
より、0になるときがある。
よって、p(x-26)={26^(n+1)-1}/25がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=5はある。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると5を含む。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、
{28^(n+1)-1}/27=3Pとおける。
28^m-1=27x3P=81P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i130) mod(28^3-1,81);
(%o130)                                0
(%i131) mod(28^5-1,81);
(%o131)                               54
(%i132) mod(28^7-1,81);
(%o132)                               27
(%i133) mod(28^9-1,81);
(%o133)                                0
(%i134) mod(28^11-1,81);
(%o134)                               54
(%i135) mod(28^13-1,81);
(%o135)                               27
(%i136) mod(28^15-1,81);
(%o136)                                0
(%i137) mod(28^17-1,81);
(%o137)                               54
(%i138) mod(28^19-1,81);
(%o138)                               27
(%i139) mod(28^21-1,81);
(%o139)                                0
(%i140) mod(28^23-1,81);
(%o140)                               54
(%i141) mod(28^25-1,81);
(%o141)                               27
(%i142) mod(28^27-1,81);
(%o142)                                0
(%i143) mod(28^29-1,81);
(%o143)                               54
(%i144) mod(28^31-1,81);
(%o144)                               27
より、0になるときがある。
よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/27がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=3はある。
つまり、x=31なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=31なら、
σ(x)を素因数分解した時、29,19,17,13,7は現れない、と言える。

(%i145) x:31;
(%o145)                               31
(%i146) factor(1+x+x^2);
(%o146)                              3 331
(%i147) factor(1+x+x^2+x^3+x^4);
(%o147)                           5 11 17351
(%i148) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6);
(%o148)                            917087137
(%i149) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8);
                                2
(%o149)                        3  331 3637 81343
(%i150) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10);
(%o150)                      23 397 617 150332843
(%i151) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12);
(%o151)                      42407 2426789 7908811
(%i152) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14);
(%o152)                 3 5 11 331 2521 17351 327412201
(%i153) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16);
(%o153)                    751670559138758105956097
(%i154) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18);
(%o154)                 571 14251 88770666332610762169
(%i155) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20);
(%o155)              3 43 331 6301 917087137 2813432694367
(%i156) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22);
(%o156)              1509997 61562537 7176374761323733117
(%i157) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24);
                 2
(%o157)         5  11 101 4951 17351 13277801 20235942281002951
(%i158) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26);
                 3
(%o158)         3  331 3637 81343 1836205027201 126901881805771
(%i159) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28);
(%o159)       349 10789 49823 1482570191 11242578713 189343400041
(%i160) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30);
(%o160)          568972471024107865287021434301977158534824481
(%i161) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32);
(%o161)    3 23 331 397 617 150332843 650141690025315305584300036801