x=71では、x-2=69(3x23),x-4=67,x-6=65(5x13),x-8=63(3x21),x-10=61,x-12=59,x-14=57(3x19),x-16=55(5x11),x-18=53,x-20=51(3x17),x-22=49(7x7),x-24=47,x-26=45(5x9),x-28=43,x-30=41,x-32=39(3x13),x-34=37,x-36=35(5x7),x-38=33(3x11),x-40=31,x-42=29,x-44=27(3x9),x-46=25(5x5), x-48=23,x-50=21(3x7),x-52=19,x-54=17,x-56=15(3x5),x-58=13,x-60=11,x-62=9(3x3),x-64=7,x-66=5,x-68=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=69(=3x23)とすると、69は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、p(x-2)={2^(n+1)-1}/(2-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=67とすると、σ(x)の素因数分解に67が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、 {4^(n+1)-1}/(4-1)=67Pとおける。 4^m-1=3x67P=201P nは偶数なのでmは奇数。 (%i2) mod(4^3-1,201); (%o2) 63 (%i3) mod(4^5-1,201); (%o3) 18 (%i4) mod(4^7-1,201); (%o4) 102 (%i5) mod(4^9-1,201); (%o5) 39 (%i6) mod(4^11-1,201); (%o6) 36 (%i8) mod(4^13-1,201); (%o8) 189 (%i9) mod(4^15-1,201); (%o9) 24 (%i10) mod(4^17-1,201); (%o10) 198 (%i11) mod(4^19-1,201); (%o11) 168 (%i12) mod(4^21-1,201); (%o12) 90 (%i13) mod(4^23-1,201); (%o13) 48 (%i14) mod(4^25-1,201); (%o14) 180 (%i15) mod(4^27-1,201); (%o15) 81 (%i16) mod(4^29-1,201); (%o16) 105 (%i17) mod(4^31-1,201); (%o17) 87 (%i18) mod(4^33-1,201); (%o18) 0 (%i19) mod(4^35-1,201); (%o19) 15 (%i20) mod(4^37-1,201); (%o20) 54 (%i21) mod(4^39-1,201); (%o21) 75 (%i22) mod(4^41-1,201); (%o22) 9 (%i23) mod(4^43-1,201); (%o23) 159 (%i24) mod(4^45-1,201); (%o24) 147 (%i25) mod(4^47-1,201); (%o25) 156 (%i26) mod(4^49-1,201); (%o26) 99 (%i27) mod(4^51-1,201); (%o27) 192 (%i28) mod(4^53-1,201); (%o28) 72 (%i29) mod(4^55-1,201); (%o29) 162 (%i30) mod(4^57-1,201); (%o30) 195 (%i31) mod(4^59-1,201); (%o31) 120 (%i32) mod(4^61-1,201); (%o32) 126 (%i33) mod(4^63-1,201); (%o33) 21 (%i34) mod(4^65-1,201); (%o34) 150 (%i35) mod(4^67-1,201); (%o35) 3 (%i36) mod(4^69-1,201); (%o36) 63 (%i37) mod(4^71-1,201); (%o37) 18 より、0になるときがある。 よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=67はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると67を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=65(=5x13)とすると、65は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=63(=3x21)とすると、63は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=61とすると、σ(x)の素因数分解に61が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、 {10^(n+1)-1}/9=61Pとおける。 10^m-1=9x61P=549P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i39) mod(10^3-1,549); (%o39) 450 (%i40) mod(10^5-1,549); (%o40) 81 (%i41) mod(10^7-1,549); (%o41) 513 (%i42) mod(10^9-1,549); (%o42) 342 (%i43) mod(10^11-1,549); (%o43) 261 (%i44) mod(10^13-1,549); (%o44) 396 (%i45) mod(10^15-1,549); (%o45) 171 (%i46) mod(10^17-1,549); (%o46) 180 (%i47) mod(10^19-1,549); (%o47) 531 (%i48) mod(10^21-1,549); (%o48) 495 (%i49) mod(10^23-1,549); (%o49) 189 (%i50) mod(10^25-1,549); (%o50) 333 (%i51) mod(10^27-1,549); (%o51) 459 (%i52) mod(10^29-1,549); (%o52) 432 (%i53) mod(10^31-1,549); (%o53) 477 (%i54) mod(10^33-1,549); (%o54) 36 (%i55) mod(10^35-1,549); (%o55) 405 (%i56) mod(10^37-1,549); (%o56) 522 (%i57) mod(10^39-1,549); (%o57) 144 (%i58) mod(10^41-1,549); (%o58) 225 (%i59) mod(10^43-1,549); (%o59) 90 (%i60) mod(10^45-1,549); (%o60) 315 (%i61) mod(10^47-1,549); (%o61) 306 (%i62) mod(10^49-1,549); (%o62) 504 (%i63) mod(10^51-1,549); (%o63) 540 (%i64) mod(10^53-1,549); (%o64) 297 (%i65) mod(10^55-1,549); (%o65) 153 (%i66) mod(10^57-1,549); (%o66) 27 (%i67) mod(10^59-1,549); (%o67) 54 (%i68) mod(10^61-1,549); (%o68) 9 (%i69) mod(10^63-1,549); (%o69) 450 (%i70) mod(10^65-1,549); (%o70) 81 より、0にならない。 よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=61はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると61を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、 {12^(n+1)-1}/11=59Pとおける。 12^m-1=11x59P=649P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i72) mod(12^3-1,649); (%o72) 429 (%i73) mod(12^5-1,649); (%o73) 264 (%i74) mod(12^7-1,649); (%o74) 517 (%i75) mod(12^9-1,649); (%o75) 605 (%i76) mod(12^11-1,649); (%o76) 297 (%i77) mod(12^13-1,649); (%o77) 77 (%i78) mod(12^15-1,649); (%o78) 198 (%i79) mod(12^17-1,649); (%o79) 99 (%i80) mod(12^19-1,649); (%o80) 121 (%i81) mod(12^21-1,649); (%o81) 44 (%i82) mod(12^23-1,649); (%o82) 638 (%i83) mod(12^25-1,649); (%o83) 506 (%i84) mod(12^27-1,649); (%o84) 319 (%i85) mod(12^29-1,649); (%o85) 0 (%i86) mod(12^31-1,649); (%o86) 143 (%i87) mod(12^33-1,649); (%o87) 616 (%i88) mod(12^35-1,649); (%o88) 583 (%i89) mod(12^37-1,649); (%o89) 374 (%i90) mod(12^39-1,649); (%o90) 132 (%i91) mod(12^41-1,649); (%o91) 330 (%i92) mod(12^43-1,649); (%o92) 286 (%i93) mod(12^45-1,649); (%o93) 440 (%i94) mod(12^47-1,649); (%o94) 550 (%i95) mod(12^49-1,649); (%o95) 165 (%i96) mod(12^51-1,649); (%o96) 539 (%i97) mod(12^53-1,649); (%o97) 528 (%i98) mod(12^55-1,649); (%o98) 242 (%i99) mod(12^57-1,649); (%o99) 594 (%i100) mod(12^59-1,649); (%o100) 11 (%i101) mod(12^61-1,649); (%o101) 429 (%i102) mod(12^63-1,649); (%o102) 264 より、0になるときがある。 よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=59はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると59を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/17=53Pとおける。 18^m-1=17x53P=901P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i104) mod(18^3-1,901); (%o104) 425 (%i105) mod(18^5-1,901); (%o105) 170 (%i106) mod(18^7-1,901); (%o106) 442 (%i107) mod(18^9-1,901); (%o107) 272 (%i108) mod(18^11-1,901); (%o108) 153 (%i109) mod(18^13-1,901); (%o109) 340 (%i110) mod(18^15-1,901); (%o110) 561 (%i111) mod(18^17-1,901); (%o111) 85 (%i112) mod(18^19-1,901); (%o112) 833 (%i113) mod(18^21-1,901); (%o113) 816 (%i114) mod(18^23-1,901); (%o114) 714 (%i115) mod(18^25-1,901); (%o115) 102 (%i116) mod(18^27-1,901); (%o116) 34 (%i117) mod(18^29-1,901); (%o117) 527 (%i118) mod(18^31-1,901); (%o118) 782 (%i119) mod(18^33-1,901); (%o119) 510 (%i120) mod(18^35-1,901); (%o120) 680 (%i121) mod(18^37-1,901); (%o121) 799 (%i122) mod(18^39-1,901); (%o122) 612 (%i123) mod(18^41-1,901); (%o123) 391 (%i124) mod(18^43-1,901); (%o124) 867 (%i125) mod(18^45-1,901); (%o125) 119 (%i126) mod(18^47-1,901); (%o126) 136 (%i127) mod(18^49-1,901); (%o127) 238 (%i128) mod(18^51-1,901); (%o128) 850 (%i129) mod(18^53-1,901); (%o129) 17 (%i130) mod(18^55-1,901); (%o130) 425 (%i131) mod(18^57-1,901); (%o131) 170 より、0にならない。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=53はない。 つまり、x=67なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、p(x-20)={20^(n+1)-1}/(20-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/23=47Pとおける。 24^m-1=23x47P=1081P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i133) mod(24^3-1,1081); (%o133) 851 (%i134) mod(24^5-1,1081); (%o134) 1058 (%i135) mod(24^7-1,1081); (%o135) 299 (%i136) mod(24^9-1,1081); (%o136) 920 (%i137) mod(24^11-1,1081); (%o137) 805 (%i139) mod(24^13-1,1081); (%o139) 506 (%i140) mod(24^15-1,1081); (%o140) 161 (%i141) mod(24^17-1,1081); (%o141) 345 (%i142) mod(24^19-1,1081); (%o142) 391 (%i143) mod(24^21-1,1081); (%o143) 943 (%i144) mod(24^23-1,1081); (%o144) 0 (%i145) mod(24^25-1,1081); (%o145) 575 (%i146) mod(24^27-1,1081); (%o146) 989 (%i147) mod(24^29-1,1081); (%o147) 552 (%i148) mod(24^31-1,1081); (%o148) 713 (%i149) mod(24^33-1,1081); (%o149) 483 (%i150) mod(24^35-1,1081); (%o150) 966 (%i151) mod(24^37-1,1081); (%o151) 276 (%i152) mod(24^39-1,1081); (%o152) 644 (%i153) mod(24^41-1,1081); (%o153) 736 (%i154) mod(24^43-1,1081); (%o154) 759 (%i156) mod(24^45-1,1081); (%o156) 1035 (%i157) mod(24^47-1,1081); (%o157) 23 (%i158) mod(24^49-1,1081); (%o158) 851 (%i159) mod(24^51-1,1081); (%o159) 1058 より、0になるときがある。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/(24-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=47はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると47を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、 {28^(n+1)-1}/27=43Pとおける。 28^m-1=27x43P=1161P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i161) mod(28^3-1,1161); (%o161) 1053 (%i162) mod(28^5-1,1161); (%o162) 864 (%i163) mod(28^7-1,1161); (%o163) 135 (%i164) mod(28^9-1,1161); (%o164) 972 (%i165) mod(28^11-1,1161); (%o165) 54 (%i166) mod(28^13-1,1161); (%o166) 162 (%i167) mod(28^15-1,1161); (%o167) 81 (%i168) mod(28^17-1,1161); (%o168) 432 (%i169) mod(28^19-1,1161); (%o169) 459 (%i170) mod(28^21-1,1161); (%o170) 729 (%i171) mod(28^23-1,1161); (%o171) 1107 (%i172) mod(28^25-1,1161); (%o172) 243 (%i173) mod(28^27-1,1161); (%o173) 891 (%i174) mod(28^29-1,1161); (%o174) 405 (%i175) mod(28^31-1,1161); (%o175) 189 (%i176) mod(28^33-1,1161); (%o176) 351 (%i177) mod(28^35-1,1161); (%o177) 810 (%i178) mod(28^37-1,1161); (%o178) 756 (%i179) mod(28^39-1,1161); (%o179) 216 (%i180) mod(28^41-1,1161); (%o180) 621 (%i181) mod(28^43-1,1161); (%o181) 27 (%i182) mod(28^45-1,1161); (%o182) 1053 (%i183) mod(28^47-1,1161); (%o183) 864 より、0にならない。 よって、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=43はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると43を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/29=41Pとおける。 30^m-1=29x41P=1189P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i185) mod(30^3-1,1189); (%o185) 841 (%i186) mod(30^5-1,1189); (%o186) 406 (%i187) mod(30^7-1,1189); (%o187) 87 (%i188) mod(30^9-1,1189); (%o188) 725 (%i189) mod(30^11-1,1189); (%o189) 638 (%i190) mod(30^13-1,1189); (%o190) 812 (%i191) mod(30^15-1,1189); (%o191) 464 (%i192) mod(30^17-1,1189); (%o192) 1160 (%i193) mod(30^19-1,1189); (%o193) 957 (%i194) mod(30^21-1,1189); (%o194) 174 (%i195) mod(30^23-1,1189); (%o195) 551 (%i196) mod(30^25-1,1189); (%o196) 986 (%i197) mod(30^27-1,1189); (%o197) 116 (%i198) mod(30^29-1,1189); (%o198) 667 (%i199) mod(30^31-1,1189); (%o199) 754 (%i200) mod(30^33-1,1189); (%o200) 580 (%i201) mod(30^35-1,1189); (%o201) 928 (%i202) mod(30^37-1,1189); (%o202) 232 (%i203) mod(30^39-1,1189); (%o203) 435 (%i204) mod(30^41-1,1189); (%o204) 29 (%i205) mod(30^43-1,1189); (%o205) 841 (%i206) mod(30^45-1,1189); (%o206) 406 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/29がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=41はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、p(x-32)={32^(n+1)-1}/(32-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、 {34^(n+1)-1}/33=37Pとおける。 34^m-1=33x37P=1221P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i208) mod(34^3-1,1221); (%o208) 231 (%i209) mod(34^5-1,1221); (%o209) 792 (%i210) mod(34^7-1,1221); (%o210) 957 (%i211) mod(34^9-1,1221); (%o211) 0 (%i212) mod(34^11-1,1221); (%o212) 1155 (%i213) mod(34^13-1,1221); (%o213) 561 (%i214) mod(34^15-1,1221); (%o214) 99 (%i215) mod(34^17-1,1221); (%o215) 825 (%i216) mod(34^19-1,1221); (%o216) 33 (%i217) mod(34^21-1,1221); (%o217) 231 (%i218) mod(34^23-1,1221); (%o218) 792 よって、p(x-34)={34^(n+1)-1}/(34-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=37はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると37を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、p(x-36)={36^(n+1)-1}/(36-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、p(x-38)={38^(n+1)-1}/(38-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、 {40^(n+1)-1}/39=31Pとおける。 40^m-1=39x31P=1209P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i220) mod(40^3-1,1209); (%o220) 1131 (%i221) mod(40^5-1,1209); (%o221) 117 (%i222) mod(40^7-1,1209); (%o222) 195 (%i223) mod(40^9-1,1209); (%o223) 468 (%i224) mod(40^11-1,1209); (%o224) 819 (%i225) mod(40^13-1,1209); (%o225) 234 (%i226) mod(40^15-1,1209); (%o226) 0 (%i227) mod(40^17-1,1209); (%o227) 390 (%i228) mod(40^19-1,1209); (%o228) 546 (%i229) mod(40^21-1,1209); (%o229) 1092 (%i230) mod(40^23-1,1209); (%o230) 585 (%i231) mod(40^25-1,1209); (%o231) 624 (%i232) mod(40^27-1,1209); (%o232) 156 (%i233) mod(40^29-1,1209); (%o233) 936 (%i234) mod(40^31-1,1209); (%o234) 39 (%i235) mod(40^33-1,1209); (%o235) 1131 (%i236) mod(40^35-1,1209); (%o236) 117 より、0になるときがある。 よって、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=31はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると31を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/41=29Pとおける。 42^m-1=41x29P=1189P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i244) mod(42^3-1,1189); (%o244) 369 (%i245) mod(42^5-1,1189); (%o245) 1107 (%i246) mod(42^7-1,1189); (%o246) 984 (%i247) mod(42^9-1,1189); (%o247) 410 (%i248) mod(42^11-1,1189); (%o248) 902 (%i249) mod(42^13-1,1189); (%o249) 820 (%i250) mod(42^15-1,1189); (%o250) 41 (%i251) mod(42^17-1,1189); (%o251) 369 (%i252) mod(42^19-1,1189); (%o252) 1107 より、0にならない。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=29はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/(40-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/47=23Pとおける。 48^m-1=47x23P=1081P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i341) mod(48^3-1,1081); (%o341) 329 (%i342) mod(48^5-1,1081); (%o342) 376 (%i343) mod(48^7-1,1081); (%o343) 564 (%i344) mod(48^9-1,1081); (%o344) 235 (%i345) mod(48^11-1,1081); (%o345) 0 (%i346) mod(48^13-1,1081); (%o346) 141 (%i347) mod(48^15-1,1081); (%o347) 705 (%i348) mod(48^17-1,1081); (%o348) 799 (%i349) mod(48^19-1,1081); (%o349) 94 (%i350) mod(48^21-1,1081); (%o350) 517 (%i351) mod(48^23-1,1081); (%o351) 47 (%i352) mod(48^25-1,1081); (%o352) 329 (%i353) mod(48^27-1,1081); (%o353) 376 より、0になるときがある。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=23はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると23を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、p(x-50)={50^(n+1)-1}/(50-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、 {52^(n+1)-1}/51=19Pとおける。 52^m-1=51x19P=969P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i355) mod(52^3-1,969); (%o355) 102 (%i356) mod(52^5-1,969); (%o356) 408 (%i357) mod(52^7-1,969); (%o357) 306 (%i358) mod(52^9-1,969); (%o358) 663 (%i359) mod(52^11-1,969); (%o359) 867 (%i360) mod(52^13-1,969); (%o360) 153 (%i361) mod(52^15-1,969); (%o361) 714 (%i362) mod(52^17-1,969); (%o362) 204 (%i363) mod(52^19-1,969); (%o363) 51 (%i364) mod(52^21-1,969); (%o364) 102 (%i365) mod(52^23-1,969); (%o365) 408 より、0にならない。 よって、p(x-52)={52^(n+1)-1}/(52-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=19はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると19を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/53=17Pとおける。 54^m-1=53x17P=901P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i372) mod(54^3-1,901); (%o372) 689 (%i373) mod(54^5-1,901); (%o373) 106 (%i374) mod(54^7-1,901); (%o374) 265 (%i375) mod(54^9-1,901); (%o375) 795 (%i376) mod(54^11-1,901); (%o376) 159 (%i377) mod(54^13-1,901); (%o377) 742 (%i378) mod(54^15-1,901); (%o378) 583 (%i379) mod(54^17-1,901); (%o379) 53 (%i380) mod(54^19-1,901); (%o380) 689 (%i381) mod(54^21-1,901); (%o381) 106 より、0にならない。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/(54-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=17はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、 {58^(n+1)-1}/57=13Pとおける。 58^m-1=57x13P=741P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i383) mod(58^3-1,741); (%o383) 228 (%i384) mod(58^5-1,741); (%o384) 456 (%i385) mod(58^7-1,741); (%o385) 513 (%i386) mod(58^9-1,741); (%o386) 342 (%i387) mod(58^11-1,741); (%o387) 114 (%i388) mod(58^13-1,741); (%o388) 57 (%i389) mod(58^15-1,741); (%o389) 228 (%i390) mod(58^17-1,741); (%o390) 456 より、0にならない。 よって、p(x-58)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=13はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=30なので、 {60^(n+1)-1}/59=11Pとおける。 60^m-1=59x11P=649P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i392) mod(60^3-1,649); (%o392) 531 (%i393) mod(60^5-1,649); (%o393) 0 (%i394) mod(60^7-1,649); (%o394) 354 (%i395) mod(60^9-1,649); (%o395) 118 (%i396) mod(60^11-1,649); (%o396) 59 (%i397) mod(60^13-1,649); (%o397) 531 (%i398) mod(60^15-1,649); (%o398) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-60)={60^(n+1)-1}/(60-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-60=11はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると11を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-62=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=31なので、p(x-62)={62^(n+1)-1}/(62-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=32なので、 {64^(n+1)-1}/63=7Pとおける。 64^m-1=63x7P=441P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i400) mod(64^3-1,441); (%o400) 189 (%i401) mod(64^5-1,441); (%o401) 315 (%i402) mod(64^7-1,441); (%o402) 0 (%i403) mod(64^9-1,441); (%o403) 126 (%i404) mod(64^11-1,441); (%o404) 252 (%i405) mod(64^13-1,441); (%o405) 378 (%i406) mod(64^15-1,441); (%o406) 63 (%i407) mod(64^17-1,441); (%o407) 189 (%i408) mod(64^19-1,441); (%o408) 315 より、0になるときがある。 よって、p(x-64)={64^(n+1)-1}/(64-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-64=7はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると7を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=33なので、 {66^(n+1)-1}/65=5Pとおける。 66^m-1=65x5P=325P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i410) mod(66^3-1,325); (%o410) 195 (%i411) mod(66^5-1,325); (%o411) 0 (%i412) mod(66^7-1,325); (%o412) 130 (%i413) mod(66^9-1,325); (%o413) 260 (%i414) mod(66^11-1,325); (%o414) 65 (%i415) mod(66^13-1,325); (%o415) 195 (%i416) mod(66^15-1,325); (%o416) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-66)={66^(n+1)-1}/(66-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-66=5はある。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると5を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=34なので、 {68^(n+1)-1}/67=3Pとおける。 68^m-1=67x3P=201P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i418) mod(68^3-1,201); (%o418) 67 (%i419) mod(68^5-1,201); (%o419) 67 (%i420) mod(68^7-1,201); (%o420) 67 (%i421) mod(68^9-1,201); (%o421) 67 より、0にならない。 よって、p(x-68)={68^(n+1)-1}/(68-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-68=3はない。 つまり、x=71なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=71なら、σ(x)を素因数分解した時、 61,53,43,41,29,19,17,13,3は現れない、と言える。 (%i422) x:71; (%o422) 71 (%i423) factor(1+x+x^2); (%o423) 5113 (%i424) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o424) 5 11 211 2221 (%i425) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o425) 7 883 21020917 (%i426) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); (%o426) 37 5113 3462179509 (%i427) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o427) 23 143554218709131407 (%i428) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o428) 3202878953 5196608121641 (%i429) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o429) 5 11 31 211 991 2221 5113 20723940961 (%i430) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o430) 239 3652120847 484563667343825089 (%i431) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o431) 1900857799450121 1121659287043817009 (%i432) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o432) 7 883 5113 21020917 9401987029 1720764515149 (%i433) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); 2 (%o433) 47 242329 101214532738371118365636938570353 (%i434) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); 2 (%o434) 5 11 101 211 2221 20983387291613122762977433756068601 (%i435) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); (%o435) 37 5113 435187 2354239 3462179509 2051747030353434227101 (%i436) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o436) 59 233 55217 78823 151381 76908581 9963552294291466709650117 (%i437) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o437) 34987327501952148741715973931001901034456358966279363081 (%i438) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o438) 23 67 5113 2472559 839080734031 75159289066365307 143554218709131407 (%i439) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o439) 5 7 11 211 883 2221 3851 21020917 185435951 27341958001 13596996771196629406141 (%i440)