x=61では、x-2=59,x-4=57(3x19),x-6=55(5x11),x-8=53,x-10=51(3x17),x-12=49(7x7),x-14=47,x-16=45(5x9),x-18=43,x-20=41,x-22=39(3x13),x-24=37,x-26=35(5x7),x-28=33(3x11),x-30=31,x-32=29,x-34=27(3x9),x-36=25(5x5), x-38=23,x-40=21(3x7),x-42=19,x-44=17,x-46=15(3x5),x-48=13,x-50=11,x-52=9(3x3),x-54=7,x-56=5,x-58=3が考えられます。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=59とすると、σ(x)の素因数分解に59が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、 {2^(n+1)-1}/(2-1)=59Pとおける。 2^m-1=1x59P=59P nは偶数なのでmは奇数。 (%i1) mod(2^3-1,59); (%o1) 7 (%i2) mod(2^5-1,59); (%o2) 31 (%i3) mod(2^7-1,59); (%o3) 9 (%i4) mod(2^9-1,59); (%o4) 39 (%i5) mod(2^11-1,59); (%o5) 41 (%i6) mod(2^13-1,59); (%o6) 49 (%i7) mod(2^15-1,59); (%o7) 22 (%i8) mod(2^17-1,59); (%o8) 32 (%i9) mod(2^19-1,59); (%o9) 13 (%i10) mod(2^21-1,59); (%o10) 55 (%i11) mod(2^23-1,59); (%o11) 46 (%i12) mod(2^25-1,59); (%o12) 10 (%i13) mod(2^27-1,59); (%o13) 43 (%i14) mod(2^29-1,59); (%o14) 57 (%i15) mod(2^31-1,59); (%o15) 54 (%i16) mod(2^33-1,59); (%o16) 42 (%i17) mod(2^35-1,59); (%o17) 53 (%i18) mod(2^37-1,59); (%o18) 38 (%i19) mod(2^39-1,59); (%o19) 37 (%i20) mod(2^41-1,59); (%o20) 33 (%i21) mod(2^43-1,59); (%o21) 17 (%i22) mod(2^45-1,59); (%o22) 12 (%i23) mod(2^47-1,59); (%o23) 51 (%i24) mod(2^49-1,59); (%o24) 30 (%i25) mod(2^51-1,59); (%o25) 5 (%i26) mod(2^53-1,59); (%o26) 23 (%i27) mod(2^55-1,59); (%o27) 36 (%i28) mod(2^57-1,59); (%o28) 29 (%i29) mod(2^59-1,59); (%o29) 1 (%i30) mod(2^61-1,59); (%o30) 7 (%i32) mod(2^63-1,59); (%o32) 31 より、0にならない。 よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=59はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると59を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=57(=3x19)とすると、57は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、p(x-4)={4^(n+1)-1}/(4-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=55(=5x11)とすると、55は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、p(x-6)={6^(n+1)-1}/(6-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=53とすると、σ(x)の素因数分解に53が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、 {8^(n+1)-1}/7=53Pとおける。 8^m-1=7x53P=371P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i50) mod(8^3-1,371); (%o50) 140 (%i51) mod(8^5-1,371); (%o51) 119 (%i52) mod(8^7-1,371); (%o52) 259 (%i53) mod(8^9-1,371); (%o53) 315 (%i54) mod(8^11-1,371); (%o54) 189 (%i55) mod(8^13-1,371); (%o55) 287 (%i56) mod(8^15-1,371); (%o56) 252 (%i57) mod(8^17-1,371); (%o57) 238 (%i58) mod(8^19-1,371); (%o58) 84 (%i59) mod(8^21-1,371); (%o59) 245 (%i60) mod(8^23-1,371); (%o60) 161 (%i61) mod(8^25-1,371); (%o61) 350 (%i62) mod(8^27-1,371); (%o62) 203 (%i63) mod(8^29-1,371); (%o63) 70 (%i64) mod(8^31-1,371); (%o64) 91 (%i65) mod(8^33-1,371); (%o65) 322 (%i66) mod(8^35-1,371); (%o66) 266 (%i67) mod(8^37-1,371); (%o67) 21 (%i68) mod(8^39-1,371); (%o68) 294 (%i69) mod(8^41-1,371); (%o69) 329 (%i70) mod(8^43-1,371); (%o70) 343 (%i71) mod(8^45-1,371); (%o71) 126 (%i72) mod(8^47-1,371); (%o72) 336 (%i73) mod(8^49-1,371); (%o73) 49 (%i74) mod(8^51-1,371); (%o74) 231 (%i75) mod(8^53-1,371); (%o75) 7 (%i76) mod(8^55-1,371); (%o76) 140 (%i77) mod(8^57-1,371); (%o77) 119 より、0にならない。 よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/(8-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=53はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると53を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=51(=3x17)とすると、51は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、p(x-10)={10^(n+1)-1}/(10-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=49(=7x7)とすると、49は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、p(x-12)={12^(n+1)-1}/(12-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=47とすると、σ(x)の素因数分解に47が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、 {14^(n+1)-1}/13=47Pとおける。 14^m-1=13x47P=611P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i79) mod(14^3-1,611); (%o79) 299 (%i80) mod(14^5-1,611); (%o80) 143 (%i81) mod(14^7-1,611); (%o81) 117 (%i82) mod(14^9-1,611); (%o82) 520 (%i83) mod(14^11-1,611); (%o83) 78 (%i84) mod(14^13-1,611); (%o84) 208 (%i85) mod(14^15-1,611); (%o85) 26 (%i86) mod(14^17-1,611); (%o86) 403 (%i87) mod(14^19-1,611); (%o87) 364 (%i88) mod(14^21-1,611); (%o88) 52 (%i89) mod(14^23-1,611); (%o89) 0 (%i90) mod(14^25-1,611); (%o90) 195 (%i91) mod(14^27-1,611); (%o91) 533 (%i92) mod(14^29-1,611); (%o92) 182 (%i93) mod(14^31-1,611); (%o93) 429 (%i94) mod(14^33-1,611); (%o94) 572 (%i95) mod(14^35-1,611); (%o95) 494 (%i96) mod(14^37-1,611); (%o96) 481 (%i97) mod(14^39-1,611); (%o97) 377 (%i98) mod(14^41-1,611); (%o98) 156 (%i99) mod(14^43-1,611); (%o99) 221 (%i100) mod(14^45-1,611); (%o100) 130 (%i101) mod(14^47-1,611); (%o101) 13 (%i102) mod(14^49-1,611); (%o102) 299 (%i103) mod(14^51-1,611); (%o103) 143 より、0になるときがある。 よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/(14-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=47はある。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると47を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=45(=5x9)とすると、45は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、p(x-16)={16^(n+1)-1}/(16-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=43とすると、σ(x)の素因数分解に43が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=9なので、 {18^(n+1)-1}/17=43Pとおける。 18^m-1=17x43P=731P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i105) mod(18^3-1,731); (%o105) 714 (%i106) mod(18^5-1,731); (%o106) 663 (%i107) mod(18^7-1,731); (%o107) 221 (%i108) mod(18^9-1,731); (%o108) 289 (%i109) mod(18^11-1,731); (%o109) 391 (%i110) mod(18^13-1,731); (%o110) 544 (%i111) mod(18^15-1,731); (%o111) 408 (%i112) mod(18^17-1,731); (%o112) 204 (%i113) mod(18^19-1,731); (%o113) 629 (%i114) mod(18^21-1,731); (%o114) 170 (%i115) mod(18^23-1,731); (%o115) 578 (%i116) mod(18^25-1,731); (%o116) 459 (%i117) mod(18^27-1,731); (%o117) 646 (%i118) mod(18^29-1,731); (%o118) 561 (%i119) mod(18^31-1,731); (%o119) 68 (%i120) mod(18^33-1,731); (%o120) 425 (%i121) mod(18^35-1,731); (%o121) 595 (%i122) mod(18^37-1,731); (%o122) 119 (%i123) mod(18^39-1,731); (%o123) 136 (%i124) mod(18^41-1,731); (%o124) 527 (%i125) mod(18^43-1,731); (%o125) 17 (%i126) mod(18^45-1,731); (%o126) 714 (%i127) mod(18^47-1,731); (%o127) 663 より、0にならない。 よって、p(x-18)={18^(n+1)-1}/(18-1)がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-18=43はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると43を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=41とすると、σ(x)の素因数分解に41が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=10なので、 {20^(n+1)-1}/19=41Pとおける。 20^m-1=19x41P=779P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i129) mod(20^3-1,779); (%o129) 209 (%i130) mod(20^5-1,779); (%o130) 646 (%i131) mod(20^7-1,779); (%o131) 171 (%i132) mod(20^9-1,779); (%o132) 247 (%i133) mod(20^11-1,779); (%o133) 266 (%i134) mod(20^13-1,779); (%o134) 76 (%i135) mod(20^15-1,779); (%o135) 418 (%i136) mod(20^17-1,779); (%o136) 114 (%i137) mod(20^19-1,779); (%o137) 38 (%i138) mod(20^21-1,779); (%o138) 19 (%i139) mod(20^23-1,779); (%o139) 209 (%i140) mod(20^25-1,779); (%o140) 646 より、0にならない。 よって、p(x-20)={20^(n+1)-1}/19がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-20=41はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると41を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-22=39(=3x13)とすると、39は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=11なので、p(x-22)={22^(n+1)-1}/(22-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=37とすると、σ(x)の素因数分解に37が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=12なので、 {24^(n+1)-1}/23=37Pとおける。 24^m-1=23x37P=851P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i142) mod(24^3-1,851); (%o142) 207 (%i143) mod(24^5-1,851); (%o143) 667 (%i144) mod(24^7-1,851); (%o144) 115 (%i145) mod(24^9-1,851); (%o145) 437 (%i146) mod(24^11-1,851); (%o146) 391 (%i147) mod(24^13-1,851); (%o147) 276 (%i148) mod(24^15-1,851); (%o148) 414 (%i149) mod(24^17-1,851); (%o149) 759 (%i150) mod(24^19-1,851); (%o150) 345 (%i151) mod(24^21-1,851); (%o151) 161 (%i152) mod(24^23-1,851); (%o152) 552 (%i153) mod(24^25-1,851); (%o153) 253 (%i154) mod(24^27-1,851); (%o154) 782 (%i155) mod(24^29-1,851); (%o155) 828 (%i156) mod(24^31-1,851); (%o156) 92 (%i157) mod(24^33-1,851); (%o157) 805 (%i158) mod(24^35-1,851); (%o158) 460 (%i159) mod(24^37-1,851); (%o159) 23 (%i160) mod(24^39-1,851); (%o160) 207 (%i161) mod(24^41-1,851); (%o161) 667 より、0にならない。 よって、p(x-24)={24^(n+1)-1}/23がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-24=37はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると37を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-26=35(=5x7)とすると、35は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=13なので、p(x-26)={26^(n+1)-1}/(26-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-28=33(=3x11)とすると、33は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=14なので、p(x-28)={28^(n+1)-1}/(28-1)がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=31とすると、σ(x)の素因数分解に31が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=15なので、 {30^(n+1)-1}/29=31Pとおける。 30^m-1=29x31P=899P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i163) mod(30^3-1,899); (%o163) 29 (%i165) mod(30^5-1,899); (%o165) 29 (%i166) mod(30^7-1,899); (%o166) 29 より、0にならない。 よって、p(x-30)={30^(n+1)-1}/29がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-30=31はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると31を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=29とすると、σ(x)の素因数分解に29が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=16なので、 {32^(n+1)-1}/31=29Pとおける。 32^m-1=31x29P=899P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i167) mod(32^3-1,899); (%o167) 403 (%i168) mod(32^5-1,899); (%o168) 155 (%i169) mod(32^7-1,899); (%o169) 620 (%i170) mod(32^9-1,899); (%o170) 310 (%i171) mod(32^11-1,899); (%o171) 217 (%i172) mod(32^13-1,899); (%o172) 279 (%i173) mod(32^15-1,899); (%o173) 837 (%i174) mod(32^17-1,899); (%o174) 465 (%i175) mod(32^19-1,899); (%o175) 713 (%i176) mod(32^21-1,899); (%o176) 248 (%i177) mod(32^23-1,899); (%o177) 558 (%i178) mod(32^25-1,899); (%o178) 651 (%i179) mod(32^27-1,899); (%o179) 589 (%i180) mod(32^29-1,899); (%o180) 31 (%i181) mod(32^31-1,899); (%o181) 403 (%i182) mod(32^33-1,899); (%o182) 155 より、0にならない。 よって、p(x-32)={32^(n+1)-1}/31がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-32=29はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると29を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-34=27(3x9)とすると、27は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=17なので、p(x-34)={34^(n+1)-1}/33がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-36=25(5x5)とすると、25は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=18なので、p(x-36)={36^(n+1)-1}/35がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=23とすると、σ(x)の素因数分解に23が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=19なので、 {38^(n+1)-1}/37=23Pとおける。 38^m-1=37x23P=851P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i184) mod(38^3-1,851); (%o184) 407 (%i185) mod(38^5-1,851); (%o185) 259 (%i186) mod(38^7-1,851); (%o186) 148 (%i187) mod(38^9-1,851); (%o187) 703 (%i188) mod(38^11-1,851); (%o188) 481 (%i189) mod(38^13-1,851); (%o189) 740 (%i190) mod(38^15-1,851); (%o190) 296 (%i191) mod(38^17-1,851); (%o191) 814 (%i192) mod(38^19-1,851); (%o192) 777 (%i193) mod(38^21-1,851); (%o193) 111 (%i194) mod(38^23-1,851); (%o194) 37 (%i195) mod(38^25-1,851); (%o195) 407 (%i196) mod(38^27-1,851); (%o196) 259 より、0にならない。 よって、p(x-38)={38^(n+1)-1}/37がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-38=23はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると23を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-40=21(3x7)とすると、21は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=20なので、p(x-40)={40^(n+1)-1}/39がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=19とすると、σ(x)の素因数分解に19が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=21なので、 {42^(n+1)-1}/41=19Pとおける。 42^m-1=41x19P=779P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i198) mod(42^3-1,779); (%o198) 82 (%i199) mod(42^5-1,779); (%o199) 738 (%i200) mod(42^7-1,779); (%o200) 328 (%i201) mod(42^9-1,779); (%o201) 0 (%i202) mod(42^11-1,779); (%o202) 205 (%i203) mod(42^13-1,779); (%o203) 369 (%i204) mod(42^15-1,779); (%o204) 656 (%i205) mod(42^17-1,779); (%o205) 574 (%i206) mod(42^19-1,779); (%o206) 41 (%i207) mod(42^21-1,779); (%o207) 82 (%i208) mod(42^23-1,779); (%o208) 738 より、0になるときがある。 よって、p(x-42)={42^(n+1)-1}/(42-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-42=19はある。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると19を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=22なので、 {44^(n+1)-1}/43=17Pとおける。 44^m-1=43x17P=731P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i210) mod(44^3-1,731); (%o210) 387 (%i211) mod(44^5-1,731); (%o211) 430 (%i212) mod(44^7-1,731); (%o212) 344 (%i213) mod(44^9-1,731); (%o213) 516 (%i214) mod(44^11-1,731); (%o214) 172 (%i215) mod(44^13-1,731); (%o215) 129 (%i216) mod(44^15-1,731); (%o216) 215 (%i217) mod(44^17-1,731); (%o217) 43 (%i218) mod(44^19-1,731); (%o218) 387 (%i219) mod(44^21-1,731); (%o219) 430 より、0にならない。 よって、p(x-44)={44^(n+1)-1}/43がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-44=17はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-46=15(3x5)とすると、15は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=23なので、p(x-46)={46^(n+1)-1}/45がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=24なので、 {48^(n+1)-1}/47=13Pとおける。 48^m-1=47x13P=611P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i221) mod(48^3-1,611); (%o221) 0 (%i222) mod(48^5-1,611); (%o222) 470 (%i223) mod(48^7-1,611); (%o223) 47 (%i224) mod(48^9-1,611); (%o224) 0 (%i225) mod(48^11-1,611); (%o225) 470 (%i226) mod(48^13-1,611); (%o226) 47 より、0になるときがある。 よって、p(x-48)={48^(n+1)-1}/(48-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-48=13はある。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると13を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=25なので、 {50^(n+1)-1}/49=11Pとおける。 50^m-1=49x11P=539P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i228) mod(50^3-1,539); (%o228) 490 (%i229) mod(50^5-1,539); (%o229) 196 (%i230) mod(50^7-1,539); (%o230) 392 (%i231) mod(50^9-1,539); (%o231) 441 (%i232) mod(50^11-1,539); (%o232) 49 (%i233) mod(50^13-1,539); (%o233) 490 (%i234) mod(50^15-1,539); (%o234) 196 より、0にならない。 よって、p(x-50)={50^(n+1)-1}/49がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-50=11はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-52=9(3x3)とすると、9は素数でないので よって、p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=26なので、p(x-52)={52^(n+1)-1}/51がありえない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=27なので、 {54^(n+1)-1}/53=7Pとおける。 54^m-1=53x7P=371P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i236) mod(54^3-1,371); (%o236) 159 (%i237) mod(54^5-1,371); (%o237) 212 (%i238) mod(54^7-1,371); (%o238) 53 (%i239) mod(54^9-1,371); (%o239) 159 (%i240) mod(54^11-1,371); (%o240) 212 より、0にならない。 よって、p(x-54)={54^(n+1)-1}/53がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-54=7はない。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=28なので、 {56^(n+1)-1}/55=5Pとおける。 56^m-1=55x5P=275P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i242) mod(56^3-1,275); (%o242) 165 (%i243) mod(56^5-1,275); (%o243) 0 (%i244) mod(56^7-1,275); (%o244) 110 (%i245) mod(56^9-1,275); (%o245) 220 (%i246) mod(56^11-1,275); (%o246) 55 (%i247) mod(56^13-1,275); (%o247) 165 (%i248) mod(56^15-1,275); (%o248) 0 より、0になるときがある。 よって、p(x-56)={56^(n+1)-1}/(56-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-56=5はある。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると5を含む。 σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=29なので、 {58^(n+1)-1}/57=3Pとおける。 58^m-1=57x3P=171P　nは偶数なのでmは奇数。 (%i250) mod(58^3-1,171); (%o250) 0 (%i251) mod(58^5-1,171); (%o251) 114 (%i252) mod(58^7-1,171); (%o252) 57 (%i253) mod(58^9-1,171); (%o253) 0 (%i254) mod(58^11-1,171); (%o254) 114 より、0になるときがある。 よって、p(x-56)={58^(n+1)-1}/(58-1)がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-58=3はある。 つまり、x=61なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。 (x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=61なら、σ(x)を素因数分解した時、 59,53,43,41,37,31,29,23,17,11,7は現れない、と言える。 (%i256) x:61; (%o256) 61 (%i257) factor(1+x+x^2); (%o257) 3 13 97 (%i258) factor(1+x+x^2+x^3+x^4); (%o258) 5 131 21491 (%i259) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6); (%o259) 52379047267 (%i260) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8); 2 (%o260) 3 13 19 97 903870199 (%i261) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10); (%o261) 199 859 4242586390571 (%i262) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12); (%o262) 187123 14421466756460791 (%i263) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14); (%o263) 3 5 13 97 131 21491 188565401138641 (%i264) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16); (%o264) 103 362759437743508955104646759 (%i265) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18); (%o265) 229 607127818287731321660577427051 (%i266) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20); (%o266) 3 13 97 127 52379047267 20557846922649109543 (%i267) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22); (%o267) 47 40957844886377442763169709027626155549 (%i268) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24); 2 (%o268) 5 131 21491 50951 342989401 359398201 16203819081551 (%i269) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26); 3 (%o269) 3 13 19 97 163 379 381673 36714817 903870199 52657005100213 (%i270) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28); (%o270) 12703 37991 59503651 129924628343 26582256519936794775401 (%i271) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30); (%o271) 1489 247844301073446432073571189153011918514923282850779 (%i272) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32); (%o272) 3 13 97 199 859 991 25147 151009 318781 737353 565834574449 4242586390571 (%i273) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20+x^21+x^22+x^23+x^24+x^25+x^26+x^27+x^28+x^29+x^30+x^31+x^32+x^33+x^34); (%o273) 5 131 21491 78541 30206995211 52379047267 2921013088219875751784081471