x=19では、x-2=17,x-4=15(3x5),x-6=13,x-8=11,x-10=9(3x3),x-12=7,x-14=5,x-16=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=17とすると、σ(x)の素因数分解に17が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=1なので、
{2^(n+1)-1}=17Pとおける。
2^m-1=17P nは偶数なのでmは奇数。
(%i7) mod(2^3-1,17);
(%o7)                                  7
(%i8) mod(2^5-1,17);
(%o8)                                 14
(%i9) mod(2^7-1,17);
(%o9)                                  8
(%i10) mod(2^9-1,17);
(%o10)                                 1
(%i11) mod(2^11-1,17);
(%o11)                                 7
(%i12) mod(2^13-1,17);
(%o12)                                14
(%i13) mod(2^15-1,17);
(%o13)                                 8
(%i14) mod(2^17-1,17);
(%o14)                                 1
(%i15) mod(2^19-1,17);
(%o15)                                 7
(%i16) mod(2^21-1,17);
(%o16)                                14
(%i17) mod(2^23-1,17);
(%o17)                                 8
(%i18) mod(2^25-1,17);
(%o18)                                 1
より、0にならない。
よって、p(x-2)={2^(n+1)-1}がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=17はない。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると17を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=15(=3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/3がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、
{6^(n+1)-1}/5=13Pとおける。
6^m-1=5x13P=65P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i19) mod(6^3-1,65);
(%o19)                                20
(%i20) mod(6^5-1,65);
(%o20)                                40
(%i21) mod(6^7-1,65);
(%o21)                                45
(%i22) mod(6^9-1,65);
(%o22)                                30
(%i23) mod(6^11-1,65);
(%o23)                                10
(%i24) mod(6^13-1,65);
(%o24)                                 5
(%i25) mod(6^15-1,65);
(%o25)                                20
(%i26) mod(6^17-1,65);
(%o26)                                40
(%i27) mod(6^19-1,65);
(%o27)                                45
(%i28) mod(6^21-1,65);
(%o28)                                30
(%i29) mod(6^23-1,65);
(%o29)                                10
(%i30) mod(6^25-1,65);
(%o30)                                 5
より、0にならない。
よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=13はない。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=4なので、
{8^(n+1)-1}/7=11Pとおける。
8^m-1=7x11P=77P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i31) mod(8^3-1,77);
(%o31)                                49
(%i32) mod(8^5-1,77);
(%o32)                                42
(%i33) mod(8^7-1,77);
(%o33)                                56
(%i34) mod(8^9-1,77);
(%o34)                                28
(%i35) mod(8^11-1,77);
(%o35)                                 7
(%i36) mod(8^13-1,77);
(%o36)                                49
(%i37) mod(8^15-1,77);
(%o37)                                42
(%i38) mod(8^17-1,77);
(%o38)                                56
(%i39) mod(8^19-1,77);
(%o39)                                28
(%i40) mod(8^21-1,77);
(%o40)                                 7
(%i41) mod(8^23-1,77);
(%o41)                                49
(%i42) mod(8^25-1,77);
(%o42)                                42
より、0にならない。
よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/7がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=11はない。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=9(=3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、
{12^(n+1)-1}/11=7Pとおける。
12^m-1=11x7P=77P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i43) mod(12^3-1,77);
(%o43)                                33
(%i44) mod(12^5-1,77);
(%o44)                                44
(%i45) mod(12^7-1,77);
(%o45)                                11
(%i46) mod(12^9-1,77);
(%o46)                                33
(%i47) mod(12^11-1,77);
(%o47)                                44
(%i48) mod(12^13-1,77);
(%o48)                                11
(%i49) mod(12^15-1,77);
(%o49)                                33
(%i50) mod(12^17-1,77);
(%o50)                                44
(%i51) mod(12^19-1,77);
(%o51)                                11
(%i52) mod(12^21-1,77);
(%o52)                                33
(%i53) mod(12^23-1,77);
(%o53)                                44
(%i54) mod(12^25-1,77);
(%o54)                                11
より、0にならない。
よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=7はない。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、
{14^(n+1)-1}/13=5Pとおける。
14^m-1=13x5P=65P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i55) mod(14^3-1,65);
(%o55)                                13
(%i56) mod(14^5-1,65);
(%o56)                                13
(%i57) mod(14^7-1,65);
(%o57)                                13
(%i58) mod(14^9-1,65);
(%o58)                                13
(%i59) mod(14^11-1,65);
(%o59)                                13
(%i60) mod(14^13-1,65);
(%o60)                                13
(%i61) mod(14^15-1,65);
(%o61)                                13
(%i62) mod(14^17-1,65);
(%o62)                                13
(%i63) mod(14^19-1,65);
(%o63)                                13
(%i64) mod(14^21-1,65);
(%o64)                                13
(%i65) mod(14^23-1,65);
(%o65)                                13
(%i66) mod(14^25-1,65);
(%o66)                                13
より、0にならない。
よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=5はない。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=8なので、
{16^(n+1)-1}/15=3Pとおける。
16^m-1=15x3P=45P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i67) mod(16^3-1,45);
(%o67)                                 0
(%i68) mod(16^5-1,45);
(%o68)                                30
(%i69) mod(16^7-1,45);
(%o69)                                15
(%i70) mod(16^9-1,45);
(%o70)                                 0
(%i71) mod(16^11-1,45);
(%o71)                                30
(%i72) mod(16^13-1,45);
(%o72)                                15
(%i73) mod(16^15-1,45);
(%o73)                                 0
(%i74) mod(16^17-1,45);
(%o74)                                30
(%i75) mod(16^19-1,45);
(%o75)                                15
(%i76) mod(16^21-1,45);
(%o76)                                 0
(%i77) mod(16^23-1,45);
(%o77)                                30
(%i78) mod(16^25-1,45);
(%o78)                                15
より、0になるときがある。
よって、p(x-16)={16^(n+1)-1}/15がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-16=3はある。
つまり、x=19なら、σ(x)を素因数分解すると3を含む。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=19なら、σ(x)を素因数分解した時、17,13,11,7,5は現れない、と言える。


(%i23) x:19;
(%o23)                                19
(%i24) factor(1+x+x^2);
(%o24)                               3 127
(%i25) factor(1+x+x^2+x^3+x^4);
(%o25)                              151 911
(%i26) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6);
(%o26)                             701 70841
(%i27) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8);
                                2
(%o27)                         3  127 523 29989
(%i28) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10);
(%o28)                          104281 62060021
(%i29) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12);
(%o29)                        599 29251 133338869
(%i30) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14);
(%o30)                   3 31 127 151 211 911 2460181
(%i31) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16);
(%o31)                      3044803 99995282631947
(%i32) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18);
(%o32)                     109912203092239643840221
(%i33) factor(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20);
(%o33)                 3 127 701 70841 30640261 68443621