x=17では、x-2=15(=3x5),x-4=13,x-6=11,x-8=9(=3x3),x-10=7,x-12=5,x-14=3が考えられます。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-2=15(=3x5)とすると、15は素数でないので
よって、p(x-2)=2^(n+1)-1がありえない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=13とすると、σ(x)の素因数分解に13が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=2なので、
{4^(n+1)-1}/3=13Pとおける。
4^m-1=3x13P=39P nは偶数なのでmは奇数。
(%i1) mod(4^3-1,39);
(%o1)                                 24
(%i2) mod(4^5-1,39);
(%o2)                                  9
(%i3) mod(4^7-1,39);
(%o3)                                  3
(%i4) mod(4^9-1,39);
(%o4)                                 24
(%i5) mod(4^11-1,39);
(%o5)                                  9
(%i6) mod(4^13-1,39);
(%o6)                                  3
(%i7) mod(4^15-1,39);
(%o7)                                 24
(%i8) mod(4^17-1,39);
(%o8)                                  9
(%i9) mod(4^19-1,39);
(%o9)                                  3
(%i10) mod(4^21-1,39);
(%o10)                                24
(%i11) mod(4^23-1,39);
(%o11)                                 9
(%i12) mod(4^25-1,39);
(%o12)                                 3
より、0にならない。
よって、p(x-4)={4^(n+1)-1}/3がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-4=13はない。
つまり、x=17なら、σ(x)を素因数分解すると13を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=11とすると、σ(x)の素因数分解に11が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=3なので、
{6^(n+1)-1}/5=11Pとおける。
6^m-1=5x11P=55P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i13) mod(6^3-1,55);
(%o13)                                50
(%i14) mod(6^5-1,55);
(%o14)                                20
(%i15) mod(6^7-1,55);
(%o15)                                40
(%i16) mod(6^9-1,55);
(%o16)                                45
(%i17) mod(6^11-1,55);
(%o17)                                 5
(%i18) mod(6^13-1,55);
(%o18)                                50
(%i19) mod(6^15-1,55);
(%o19)                                20
(%i20) mod(6^17-1,55);
(%o20)                                40
(%i21) mod(6^19-1,55);
(%o21)                                45
(%i22) mod(6^21-1,55);
(%o22)                                 5
(%i23) mod(6^23-1,55);
(%o23)                                50
(%i24) mod(6^25-1,55);
(%o24)                                20
より、0にならない。
よって、p(x-6)={6^(n+1)-1}/5がありえず、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-6=11はない。
つまり、x=17なら、σ(x)を素因数分解すると11を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-8=9(=3x3)とすると、9は素数でないので
よって、p(x-8)={8^(n+1)-1}/7がありえない。


σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=7とすると、σ(x)の素因数分解に7が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=5なので、
{10^(n+1)-1}/9=7Pとおける。
10^m-1=9x7P=63P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i25) mod(10^3-1,63);
(%o25)                                54
(%i26) mod(10^5-1,63);
(%o26)                                18
(%i27) mod(10^7-1,63);
(%o27)                                 9
(%i28) mod(10^9-1,63);
(%o28)                                54
(%i29) mod(10^11-1,63);
(%o29)                                18
(%i30) mod(10^13-1,63);
(%o30)                                 9
(%i31) mod(10^15-1,63);
(%o31)                                54
(%i32) mod(10^17-1,63);
(%o32)                                18
(%i33) mod(10^19-1,63);
(%o33)                                 9
(%i34) mod(10^21-1,63);
(%o34)                                54
(%i35) mod(10^23-1,63);
(%o35)                                18
(%i36) mod(10^25-1,63);
(%o36)                                 9
より、0にならない。
よって、p(x-10)={10^(n+1)-1}/9がありないので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-10=7はない。
つまり、x=17なら、σ(x)を素因数分解すると7を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=5とすると、σ(x)の素因数分解に5が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=6なので、
{12^(n+1)-1}/11=5Pとおける。
12^m-1=11x5P=55P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i37) mod(12^3-1,55);
(%o37)                                22
(%i38) mod(12^5-1,55);
(%o38)                                11
(%i39) mod(12^7-1,55);
(%o39)                                22
(%i40) mod(12^9-1,55);
(%o40)                                11
(%i41) mod(12^11-1,55);
(%o41)                                22
(%i42) mod(12^13-1,55);
(%o42)                                11
(%i44) mod(12^15-1,55);
(%o44)                                22
(%i45) mod(12^17-1,55);
(%o45)                                11
(%i46) mod(12^19-1,55);
(%o46)                                22
(%i47) mod(12^21-1,55);
(%o47)                                11
(%i48) mod(12^23-1,55);
(%o48)                                22
(%i49) mod(12^25-1,55);
(%o49)                                11
より、0にならない。
よって、p(x-12)={12^(n+1)-1}/11がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-12=5はない。
つまり、x=17なら、σ(x)を素因数分解すると5を含まない。

σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=3とすると、σ(x)の素因数分解に3が現れるから
p(x-2k)={(2k)^(n+1)-1}/(2k-1)より、k=7なので、
{14^(n+1)-1}/13=3Pとおける。
10^m-1=13x3P=39P　nは偶数なのでmは奇数。
(%i50) mod(14^3-1,39);
(%o50)                                13
(%i51) mod(14^5-1,39);
(%o51)                                13
(%i52) mod(14^7-1,39);
(%o52)                                13
(%i53) mod(14^9-1,39);
(%o53)                                13
(%i54) mod(14^11-1,39);
(%o54)                                13
(%i55) mod(14^13-1,39);
(%o55)                                13
(%i56) mod(14^15-1,39);
(%o56)                                13
(%i57) mod(14^17-1,39);
(%o57)                                13
(%i58) mod(14^19-1,39);
(%o58)                                13
(%i59) mod(14^21-1,39);
(%o59)                                13
(%i60) mod(14^23-1,39);
(%o60)                                13
(%i61) mod(14^25-1,39);
(%o61)                                13
より、0にならない。
よって、p(x-14)={14^(n+1)-1}/13がありえるので、σ(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてx-14=3はない。
つまり、x=17なら、σ(x)を素因数分解すると3を含まない。

(x)=1+x+x^2+x^3+・・・・+x^nにおいてσ(x)が奇数で、つまり、nが偶数の時、x=17なら、σ(x)を素因数分解した時、13,11,7,5,3は現れない、と言える。